奥本海_爱因斯坦与奥本海默_拉萨奥本海(9)

: Originally posted by virtualzx at 2015-03-23 16:08:58

1.不正确。两个电子态简并，不是两个电子态的势能面处处相等，而是只有在少数点简并。大部分情况下，在一个N维的原子核坐标空间，两个电子态间的简并空间是N-2维子空间，在两个维度内简并度会被线性破除（也就是说 ...

前三点我都明白了，我原以为电子态简并的意思就是势能面完全一致，没想到实际上只是有限的几个点处势能面相交

第四点还是没弄懂，麻烦你说一下为什么F_{11}为无穷大？

: Originally posted by virtualzx at 2015-03-23 16:08:58

1.不正确。两个电子态简并，不是两个电子态的势能面处处相等，而是只有在少数点简并。大部分情况下，在一个N维的原子核坐标空间，两个电子态间的简并空间是N-2维子空间，在两个维度内简并度会被线性破除（也就是说 ...

够5个金币了，看看能不能送您个红花

: Originally posted by ra2ghgzh at 2015-03-23 04:48:14

前三点我都明白了，我原以为电子态简并的意思就是势能面完全一致，没想到实际上只是有限的几个点处势能面相交

第四点还是没弄懂，麻烦你说一下为什么F_{11}为无穷大？...

原来你的疑惑在这里呀！嗯，其实有一个有趣的现象，考虑一般的两个曲面的情况，它们的交叉空间是N-1维度；但势能面的情况却不同，是N-2维度交叉，而这一个额外的维度正是因为势能面间的耦合造成的。和一般的曲面交叉情况不同，势能面相交处是不连续的，是一个奇点（考虑双圆锥的图像）。而berry phase正是由于这一奇点造成的。

至于为何对角项是无穷大，首先考虑在原先的绝热表象中的情况：

我们知道

Vi|φi> = He |φi>

两边求导就得到

(V_i) |φi> + Vi |φi>=(He) |φi> +He |φi>

这时可以从左侧乘<φj|而且注意到

<φj|He=<φj|Vj，

于是

(V_i) <φj|φi> + Vi <φj|φi>=<φj| (He) |φi> +Vj<φj|φi>

当i和j相等时这个式子就退化为电子哈密顿算符的Hellmann–Feynman定理，给出能量的导数。而当i和j不等时

( Vi-Vj)<φj|φi>=<φj| (He) |φi>

而简并时( Vi-Vj) 为0，但<φj| (He) |φi>一般不为零，所以<φj|φi>趋于无穷大。进而得出<φ2|φ1>趋于无穷大。

根据你给出的转换表达式和推理过程

<φ3|φ3> = ( <φ1|+i<φ2| ) ( |φ1>- i|φ2> ) = < φ1|φ1> + <φ2|φ2> + i<φ2|φ1> - i<φ1|φ2> = 2i<φ2|φ1>

<φ4|φ4>也亦然。于是F对应这两个态的对角元都是无穷大的纯虚数。还要注意到F不是2x2矩阵，而是无穷乘以无穷矩阵，它的基是整个希尔伯特空间，于是G的非对角全的情况就可见了。

当然，这里|φ3>和|φ4>没有归一化，但是结果应该只差一个常数2，不影响。

注意到最上面的推理过程对于|φ3>和|φ4>不可用，因为过程要求|φi>在一点附近都是薛定谔方程的解，因此只对绝热表象有效。而|φ3>一旦离开这一点就不再是解了

: Originally posted by virtualzx at 2015-03-23 23:59:04

原来你的疑惑在这里呀！嗯，其实有一个有趣的现象，考虑一般的两个曲面的情况，它们的交叉空间是N-1维度；但势能面的情况却不同，是N-2维度交叉，而这一个额外的维度正是因为势能面间的耦合造成的。和一般的曲面交 ...

都看明白了，这是你推导的还是哪本书上写的？

: Originally posted by ra2ghgzh at 2015-03-24 08:59:07

都看明白了，这是你推导的还是哪本书上写的？...

晕，我自己就推导过，竟然不记得了，太丢人了:sweat:

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