闭映射_连续但不开的映射_闭算子定义

《现代数学基础:泛函分析中的反例》的取材，主要是从各种有关的书籍以及散见在各种数学杂志上的反例中挑选出来的。阅读《现代数学基础:泛函分析中的反例》所需的预备知识，假定读者已经掌握。因此，书中只准备了很少的说明。每一章都以引言开始，用来明确与《现代数学基础:泛函分析中的反例》有关的泛函分析方面的记号、术语和定义，也陈述了一些有关的定理，这些定理或者是构造某些反例时要用到，或者是为了衬托某个反例。各章的引言中未介绍实分析方面的记号、术语、定义以及有关定理，有关这方面的内容，读者可参看作者撰写的《实分析中的反例》（高等教育出版社1989年出版）一书。闭映射此外，书中还提出了一系列尚待解决的问题，可供读者进一步探讨。

图书目录

第一章度量空间

0.引言

1.实直线R1上存在距离d和点列{xn}，{yn}□（R1，d），使limn→∞xn与limn→∞ym都存在，但limn→∞（xn+ym）≠limn→∞xn+limn→∞yn

2.存在R2的一个测度为零的度量子空间，它的某个稠密开集的边界为不可数集

3.存在一个集上的两个距离d1与d2，不存在距离d使d≤d1，d≤d2

4.存在两个不相交的有界闭集，它们之间的距离等于零

5.存在一个完备度量空间中的紧集F1与闭集F2，使对任意x∈F1，y∈F2恒有d（x，y）>d（F1，F2）

6.C（0，1）上的两种距离，使得按照一种距离的单位球的余集在另一种距离下的单位球内是稠密的

7.一个度量空间，其中存在开球，它是闭集但不是闭球；又存在闭球，它是开集但不是开球

8.存在度量空间，其中开球的闭包都是闭球，但它的某个子空间却无此性质

9.存在某个度量空间的紧子空间E，使E中每个球都是连通的，但是开球的闭包未必是闭球

10.存在某个度量空间，在其中有半径分别为r1与r2的闭球B1与B2，虽然r1>r2，却有B1□B2

11.存在度量空间，在其中有集A，使{p：d（p，A）≤1）≠∪q∈AB（q，1），这里B（q，1）={p：d（q，p）≤1}

12.存在完备度量空间，在其中一个渐缩的非空闭球列{Bn}，使∪∞n=1，Bn=□

13.存在某个集上的两个距离，使得到的两个度量空间一个完备而另一个不完备

14.任何子集都是既开又闭的完备度量空间

15.任何子集都是既开又闭的不完备的度量空间

16.内点都是孤立点的度量空间

17.同一个集X上的两个距离d1与d2，使（X，d1）可分而（X，d2）不可分

18.无理数集上存在非离散的完备距离，使其成为完备的可分空间

19.有界而非全有界的集合

20.全有界而不列紧的集合

21.有界闭集并不都是列紧的度量空间

22.一个列紧集列，其并集并不列紧

23.存在某个度量空间中的列紧集，它与它的某个真子集等距

24.存在某个非紧度量空间，它不能与它的真子集等距

25.存在非紧的度量空间，在它上面的每个实值连续函数都是一致连续的

26.存在两个度量空间X与Y，使X2与Y2等距而X与Y并不等距

27.一个不完备的度量空间，它同胚于它的完备化空间

28.存在两个不同胚的度量空间，每一个都是另一个的的连续像

29.某个度量空间中的子集A与B，虽然A与B的某个子集同胚，B与A的某个子集同胚，但A与B仍不同胚

30.R1中存在两个同胚的子集A与B，而不存在R1到R1上的同胚映射f，使f（A）=B

31.把Cauchy点列映成非Cauchy点列的同胚映射

32.Cauchy点列的几种弱形式之间的关系

33.把全有界集映成非全有界集的同胚映射

34.把列紧集映成非列紧集的同胚映射

35.把闭集映成非闭集的同胚映射

36.一个连续映射，它把某个有界闭集映成非闭集

37.一个开集的等距像，它不是开集

38.连续而不列紧的映射

39.映每个子集为列紧集的无处连续映射

40.存在由R2到R2的某个子集上的的连续映射g，使对任意p∈R2都有d（p，g（p））=1，而g不是R2到该子集上的等距映射

41.一个完备的凸度量空间（X，d），使X到X的一切连续映射所成的度量空间F不是凸的，其中F上的距离为e（f，g）=supP∈d（f（p），g（p））

第二章赋范线性空间

0.引言

1.存在某个线性空间中的两个线性子空间，其并不是线性子空间

2.存在某个线性空间的子集A，使A+A≠2A

3.存在某个线性空间中的非凸集A，适合A+A=2A

4.存在某个线性空间中的非凸集A和线性映射T，使T（A）是凸集

5.存在n维欧氏空间中不同胚的闭凸集

6.R2中的一个吸收集，它在复平面内并不吸收

7.R2中的一个均衡集，它在复平面内并不均衡

8.存在某个线性空间中的集，它的均衡包的凸包不等于它的凸包的均衡包

9.任给线性空间X，可在X上赋予范数而使之成为赋范线性空间

10.存在某个线性空间上的两个不可比较的完备范数

11.存在某个线性空间上的强、弱两个范数，使强范数完备而弱范数不完备

12.存在某个线性空间上的强、弱两个范数，使弱范数完备而强范数不完备

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