闭映射_开映射 闭映射_闭连续映射 T4公理

一族拓扑空间的卡积。并配备了一个称为积拓扑的自然的拓扑结构。

中文名,积空间。正文,拓扑学和数学的相关领域中。定义,令I为指标。例子,从实直线R上的标准拓扑开始。

定义。令I为指标集并设Xi对于每个I中的i为一个拓扑空间。闭映射

置X = Π Xi。也即集合Xi的卡积。对于每个I中的i。我们有一个标准投影 pi : X → Xi。X上的积拓扑定义为所有投影pi在该拓扑下连续的最疏拓扑。该乘积拓扑有时也称为吉洪诺夫拓扑。很明显。X上的乘积拓扑可以表述为形为pi的集合生成的拓扑。其中i属于I而U是Xi的一个开集。换句话说。集合{pi}构成X上的拓扑的子基。X的子集是开的当且仅当它是的有限个形为pi的集合的交集的并集。

pi有时称为开柱。而它们的交集称为柱集。我们可以用构成X的空间Xi的基来表述乘积拓扑的基。设对于每个i属于I。选取一个集合Yi或者是整空间Xi或者是该空间的一个基。并且满足Xi = Yi对于除了有限个I中的i之外的所有i成立。令B为集合Yi的卡积。所有可以这样构造的B集合的族构成乘积空间的一个基。闭映射这意味着有限多空间的乘积有一个由Xi的基元素的乘积组成的基。如果指标集为有限。则积拓扑有更简单的表述。

这个情况下。每个Xi的拓扑的乘积构成X上的拓扑的一个基。一般来讲。Xi的拓扑的乘积构成一个称为X上的盒拓扑的基。一般情况下。盒拓扑比积拓扑更细。但是对于有限乘积。它们是相同的。

例子。从实直线R上的标准拓扑开始。定义n份R的乘积。

就得到普通的R上的欧几里得拓扑。康托尔集同胚于可数个离散空间{0,1}的乘积而无理数的空间同胚于可数个自然数集的乘积。每个集合也是采用离散拓扑。

属性。乘积空间X加上标准投影。可以用如下的泛性质来刻划：若Y是拓扑空间。

并且对于每个I中的i。fi : Y → Xi是一个连续映射。则存在恰好一个连续映射f : Y → X满足对于每个I中的i如下交换图成立： 这表明乘积空间是拓扑空间范畴中的积。从上述范性质可以得出映射f : Y → X连续当且仅当fi = pi o f对于所有I中的i连续。在很多情况下。检查分量函数fi的连续性更为方便。检验映射g : X→ Z是否连续通常更难；可以试着用某种方式利用pi连续这一点。

除了连续。标准投影pi : X → Xi也是开映射。这表示每个积空间的开子集投影到Xi上还是开集。反过来不真：若W是到所有Xi的投影都是开集的积空间的子空间。则W不一定是X中的开集。标准投影通常不是闭映射。积拓扑有时称为点式收敛拓扑。因为：X上的一个序列 收敛当且仅当它所有到当且仅当所有Xi收敛。特别是。如果考虑所有在空间X = R对于所有I上的实值函数。在积拓扑上的收敛就是函数的点式收敛。积拓扑的一个重要定理就是吉洪诺夫定理：任何紧致空间的乘积是紧致的。

对于有限乘积很容易看出。而其一般情况等价于选择公理。

和其它拓扑概念的联系。可分离性 每个T0空间的积是T0的。

每个T1空间的积是T1的。每个豪斯多夫空间的积是豪斯多夫的。每个正则空间的积是正则的。每个吉洪诺夫空间的积是吉洪诺夫空间。正规空间的积不一定是正规的。紧致性 每个紧致空间的积是紧致的局部紧致空间的积不一定是局部紧致的。连通性 每个连通空间是连通的。每个遗传性不连通空间的积是遗传性不连通的。每个"局部看起来"一个标准投影F × U → U的空间称为纤维丛。

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