空间图片图指出、量测和判断.pdf(6)

以及，由于图中各个结点的度数不同，这种方法一直存在较多的数据冗余，造成存储空间的浪费。采用邻接矩阵存储图片拓扑数据的空间复杂度为。憎)，这显然是不现实的，邻接矩阵的表达办法，只是过去在微型网络中曾有使用，在具备上万节点的中型网络中，采用邻接矩阵存储拓扑数据既不现实，也没有必要。邻接表是另一种存贮网络的数据结构，在图片相关硬件中使用广泛。对于结点查询而言，邻接表中关联节点的检索时间复杂度仅为0(州，吣。此外，对于类似交通图片的稀松图(胸西一1)／2)，采用邻接表数据结构存储图片拓扑数据，空间复杂度仅为0(埘啪，不存在储存空间的浪费，邻接表数据结构已被表明是图片表达中最有效能的数据结构睁鄹。通过对邻接矩阵或邻接表存放结构的有效拓展，利用邻接矩阵或邻接表来进行空间网data络图的计算机存放是可行和有效的。利用抽象数据类型(abstracttype，ADT)来描述空间图片图的完全元素(图片边集和结点集)，并给出案例及相关操作的描写。同时利用元素中的字样号来构建网络图的邻接矩阵或邻接表，其拓扑关系和连通关系可以借助邻接矩阵或邻接表来隐含表示。另外，网络图的存放除了这两种最常见的数据结构之外，还有十字链表、邻接多重表等表达办法，在不同的难题空间上也得到一定的使用。

2．4空间图片图的直言2．4．1空间图片图的算术表示定～个效果在S上一个规则·：S—L若满足口．6∈L则称+是一个从s到r的二元运算。定义2—4-2具有一个二元运算·的一个集合G若满足以上条件，则称为一个群。(1)演算·是封闭的；(2)演算·是可结合的；(3)G中涵盖对运算·的单位元素P；(4)G中每一个元素口在G中有一个对运算·的逆元素口．1；除满足此类四个条件，若运算还满足(5)演算+是可交换的；则称G为交换群。群的二元运算一般涵盖加法和算式运算，分别记作‘‘+’’和“·。在“+”运算下，一般把单第23页位元素记为O，而口的逆元素记为-口。定义2—4—3设，是一个集合，在F上概念两个运算+和·，若以下条件组建，则称，为一个域。(1)在二元运算+下是一个交换群；(2)去除O以外，F在二元运算·下是一个交换群；(3)对任何口，6，c∈G，都有口·(6+c)邓·6+口·c；若构成域F的集合元素仅仅是方程或代词等普通的数，则称域F为数域。定义2—4—4设船{”，v，w，…}是一非空集合，其上的二元运算为+，庐{口，6，凸…}是一数域，其上的二元运算为+和·。

若以下条件组建，则S称为在域F上的一个线性空间。(1)S在+下是一个交换群；(2)在F的元素和S的元素之间存在着一个运算·，使得任一口EF及村∈&都有口·“∈S(3)对任何“，v∈S，口，6∈，，口·(zf+叻=口·lf十口·v；(口+6)‘“=口‘“+6’“：(口’6)。“=口’(6‘功；(4)对任一“∈S，1·“=Ⅳ，其中1是，中演算·的单位元素。如果线性空间S的一身高集两应该同一个域F上的一个线性空间，则&称为s的一身高空间。E)是一个具按照以下概念，可以用于指出图片图的标量空间。设图片图G毛(n有行个结点和聊条边的图，若G没有孤立节点，显然G共有2”个子图。设G的所有子图的集合S‘{Gl，岛…．，(而)，其中胪=2用，把环合运算。定义为S上的一个二元运算，则演算。在S上是封闭的。那么有以上方程成立【88】。定理2—4一l一个不涵盖孤立节点的图的所有子图的集合，在环合运算。下是个交换群。定理2—4—2一个不涵盖孤立节点的图的所有子图(涵盖空图)的集合S-{GI，G2～．，G’，并设S上的二元运算为环合运算o，而F是一数域，F的团体与S的团体之间的二元运算·定义为：0·G=∥，1·GI=Gl，则此条件下S是F的一个线性空间。

在方程2—4—2的基础上，可以定义图片图的这些权值空间，如割函数空间、圈割函数空间等。2．4．2空间图片图的矩阵表示瞄1嗍呻1‘”。1网络图的矩阵表示方式诸多，网络图的矩阵表示方式及其有关属性是图片图变换以及判断的理论基础。图论中的主要矩阵方式有以上几种：1．邻接矩阵一个具备疗个顶峰的图片图G气”E，聊的邻接矩阵4是一个甩x疗矩阵，4中的元素由下式给出：第24页郇∽=护黑等c2圳对于一个疗顶点的图片图G=(nE，叨的邻接矩阵彳。，从其概念可以看出，邻接矩阵可以直言出图片图的一切资料，也就是说一个图片图与其邻接矩阵是一一相应的(不涵盖平行边)。可以从图片图的邻接矩阵得到图片图的下列属性：(1)当且仅当图片图G没有自环时，彳的主对角线的元素全不为O。节点vI有一个自环时，则鼬≠0；(2)当图片图G没有自环和交叉边时，4中每一行或每一列不为零元素的数额等于对应节点的度；(3)一个图片图的邻接矩阵中相应行或列的置换或排列十分于图片图中结点的重新编号。也就是说，当且仅当两个没有交叉边的图片图Gl和G2的邻接矩阵彳I和彳2有关系4l=F■1五时，其中胄为置换矩阵，R4表示R的逆矩阵，G1和G是同构的。

(4)或者一个图片图G是可分离的，并且涵盖两个部份自和92，则图片图的邻接矩阵可以写成分块对角矩阵方式，即㈣=P捌cz越，无向图片图的邻接矩阵显然是对称的，有向图片图的邻接矩阵却不当然对称。(5)设有向图片图G的邻接矩阵为4，则矩阵矜441是对称的，其中∥是4的转置矩阵。设彳的幂为彳”=(4彳)(1，2…．)，则口；‘等于宽度为所的路径数量。2．关联矩阵对于一个栉个顶峰和研条边的图片图G=(nE，叻)，其关联矩阵是一个疗×所矩阵彳(G)=锄hw唧可又下式给出：旷{P，，学c24舢网络图的关联矩阵有以上性质：(1)所以每条边只关联两个结点，一的每一列有且只有两个元素的值不为零；(2)一中每一行元素的值不为零的数额等于相应结点的度：(3)都不为O的一行代表一个孤立节点；(4)一个图片图的交叉边在关联矩阵中表现为毕竟的列；(5)或者一图片图G是可分离的，并且涵盖两个部份gl和92，则图的关联矩阵可以写成分块对角矩阵，即件P’搿c244，(6)一个图片图的关联矩阵中两行或两列的置换或排列十分于图片图中结点和边的重新编号。也就是说，当且仅当两个图片图的关联矩阵只是差异于行和列的置换时，这两个图片图是同构的。

(7)一个相连网络图的关联矩阵的秩数是一．1。从图G关联矩阵4中除去一行所得到的(加1)×脚的子矩阵，称为G的完全关联矩阵，用4(G)直言。网络图的完全关联矩阵有一个相当有用的使用，有以上方程描述【8s】：定理2．4．3设彳，为相连网络图G的完全关联矩阵4，的一个铲屎阵，则4。非怪异的充要条件是对应于4，的列的某些边构成网络图的一颗生成树。这个方程给出了借助图片图的关联矩阵求图片图的全部合成树的原理。3．路径矩阵对于一个片个顶峰和埘条边的简单有向图G=(n习，G的路径矩阵是一个聆方阶矩阵P(G)=(口挑。其中：Il若从vj可抵达v，。pF210否则图片图的相连性可以借助其路径矩阵进行分析【8舯。定理2—4_4设G是一简单有向图，一，，是G的邻接矩阵和路径矩阵，47，，分别是其转置矩阵，则(1)G是强连接的，当且仅当P的元素全不为O；(2)G是双向连接的，当且仅当，与，的菲斯和矩阵除对角线元素外全不为O；对于一个图片图G气nE叻，记节点vf到结点吁的最短路径的权为彤卵，G的路径矩阵是一个行阶矩阵P(G)=(4力。，其中：1w‘p)若从v，可抵达v，助；10f2，(2．4．5)lm其它一般称图片图的路径矩阵为距离矩阵。

图片图的其余矩阵表现方式还涵盖割集矩阵、回路矩阵、圈矩阵、边邻接矩阵、边集矩阵等，它们从不同的视角描写了图片图的性质，并应用来不同的行业。在空间图片图的判断使用中，最常见的图片图的矩阵表现方式是图片图的邻接矩阵和关联矩阵，两者之间在当然条件下是可以互相转换的，如以上方程所示m】。定理2—4—5设图片图G=(nD是一个疗阶带有重边的无环无向图片图，其邻接矩阵为彳=(口小。劬等于节点vf和吩之间的重边数，同时记G的关联矩阵为B，矩阵第26页On见C==d诹(庙，晚，…，办)O这里m是顶峰¨的度数。则有丑口r：C+■(2．4-6)若图片图G是有向图片图，则有占曰r=C一彳(2-4．7)空间图片图可以用矩阵表示，这样就可以借助矩阵的一些变换方式对空间图片的一些性质进行判断。大多数现实中的图片在抽象为纯算术意义上的图片并进一步转换为矩阵表示后，所得到的都是稀松矩阵，并随着图片节点数的增强，矩阵会显得愈来愈稀疏。2．4．3空间图片图的谱表示152l称为行阶步兵的形态值，如果存在非零以维列方程，使得4捌YX称为彳的一个与形态值九相应的形态向量。显然，九是下列厅次单项式的根：det(九日r4)=O(2-4—8)其中，晶为相相应的丹阶单位步兵，det为行列式求值标志，此多项式称为矩阵A的形态多项式。由高斯定律，上述多项式有n个根记为h，k，．．．，k。因为h，b～．，k不当然互异，称重集{九1，k，…，k)为步兵彳的谱(speatr岫)，记为spe“，胖鲥：陋五…加1

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