1303年_1307年_1305年(2)

“老师！我想这个答案是对的。”算术老师本来想要怒吼起来。可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050。他惊奇起来。因为他自己曾经算过。得到的数值也是5050。这个10岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？高斯解释他发现的一个方法。这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数1+2+3+…+n的方法。高斯的发现使到老师觉得羞愧。觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的。他以后也认真教起书来。1303年

并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。在他的鼓励下。高斯以后便在数学上作了一些重要的研究了。

古代的算法。古时的中国和希腊人怎样算这和2400年前的希腊数学家毕达哥拉斯称这样的数1。

1+2。1 +2+3。1+2+3+4。等等为三角数。他和门徒用1个圆球代表1。并且把三角数用下面的图形表示：我们用Sn来表示1+2+3+…+n的值要知道Sn的数目。我们可以设想有另外一个Sn。把它倒放。并和原来的Sn靠拢拼合起来；我们就得到一个菱形。总共有n行。每一行有n+1个圆球。所以全部有n个圆球。这是两个Sn。

因此一个Sn应该是n÷2。无独有偶。中国人也是用这方法找出Sn的值。宋朝数学家杨辉。他考虑由草束堆成的尖垛。顶层是一束。从上到下逐层增加一束。如果知道底层的束数。就可以算出全部草束的总数。他提出的一个问题是：“今有圭垛草一堆。顶上一束。底阔八束。问共几束？答：36束。”他的计算方法和以上的说明是一样的。毕达哥拉斯和门徒们发现了三角数的一个性质：任意两个连续三角数的和是一个平方数。用图形表示是：读者可以用公式对以上的性质给出证明。

很容易联想到的一个问题：是否1^2+2^2+3^2+…+n^2。以及1^3+2^3+3^3+…+n^3也能找到简单公式来算它们的和？据说那个在澡堂里发现了“浮力定律”而忘记自己仍旧是赤身露体奔跑在街道上高喊着“Eureka！Eureka！”的希腊科学家阿基米德早已知道这两个和的公式是：1^2+2^2+3^2+…+n^2=n÷61^3+2^3+3^3+…n^3=^2可是在阿基米德以后的希腊数学家想要知道1^4+2^4+3^4+…+n^4的和的公式。

却是无能为力。这个和的公式要在1000年后11世纪的伯数学家Alhean时才知道。我们问一个问题：对于任何m≥3。是否有一般的公式表示1^m+2^m+…+n^m的和呢？法国数学家费马解决此问题在1636年法国数学家费马兴高采烈的给朋友写了一封信：“我已解决了在算术中可以算是最漂亮的一个问题。”他所讲的问题就是上面问的问题。费马发现了这样的公式：他很自然的想到。是否令他惊奇是。结果真是如此。他还从这里出发。

得到了一个很漂亮的公式：对于P≥2。以下的式子是恒等式可以用这公式来解决千多年来数学家想要求出的公式。先看最简单的情形。即p=2：左边的式子是可以展开写成已知∑r的公式。我们代进去再化就可以算出∑r2的公式了。知道了∑r2的公式。再对p=3的情形考虑。由于到∑rm的值。费马倒是很巧妙的解决这个问题。

中算圆周率。中算家在这方面的成果中国数学家很早就认识了等差级数。

在中国最早的数学书《周髀算经》里谈到“七衡”的直径以19833里100步×2递增。这就是等差级数。约在公元1世纪成书的中国重要数学著作《九章算术》在《衰分》和《均输》二章里的问题和等差级数有关。在5世纪末南北朝的张丘建在他著的《张丘建算经》就有三个问题是等差级数的问题：[题一]今有女子善织布。逐日所织的布以仝数递增。已知第一日织五尺。

经一月共织39丈。问逐日增多少？[题二]今有女子不善织布。逐日所织的布以仝数递减。已知第一日织五尺。末一日织一尺。计织30日。问共织布多少。答：9丈。[题三]今有某君以钱赠给许。先第一人给三钱。第二人给四钱。第三人给五钱。继续依次递增。钱给其他许。给完钱后把诸人所得的钱全部收回。再平均分派。结果每人得100钱。问人数多少？答：195人。唐朝和宋朝的数学家研究级数。并不是单纯追求趣味性。而是实际的需要。

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