ieee754_ieee754转换工具 _ieee754浮点数(3)

后两种舍入方法据说是为了数值计算中的区间算法，但很少听说哪个商业软件使用区间算法。

3、十进制小数与二进制小数的相互转换

先看看十进制数与二进制数如何互相转换。用下标表示数的基（base），即d10表示十进制数，b2二进制数。则一个具有n+1位整数m位小数的十进制数d10表示为：

例3：

同理，一个具有n+ 1位整数m位小数的二进制数b2表示为：

例4：

二进制数转换成十进制数，比较容易，如例4。

十进制数转换成二进制数，是把整数部分和小数部分分别转换，整数部分用2除，取余数，小数部分用2乘，取整数位。

例5：把(13.125)10转换成二进制数

整数部分：，小数部分：

因此，

说明：C/C++语言的scanf()函数一般不采用这种方法。

一个十进制数能否用二进制浮点数精确表示，关键在于小数部分。我们来看一个最简单的小数能否精确表示。按照乘以2取整数位的方法，有：

得到一个无限循环的二进制小数，用有限位无法表示无限循环小数，因此，无法用IEEE 754浮点数精确表示。从中也可以看到：由于

这四个数也无法精确表示。同理：

也无法用IEEE 754浮点数精确表示。

结论1：的9个小数中，只有0.5可以精确表示：。

可以把这个结论推广到一般情况：

结论2：任何下面的十进制数都无法用IEEE 754浮点数精确表示，必定存在误差。

如果的整数部分能精确表示且该数在浮点数的精度范围之内，则该数可以精确表示。

4、二进制小数能精确表示的十进制小数的基本规律

上述结论是由十进制数向二进制数转换而得到的，下面从二进制数向十进制数转换的角度来推演：

可以一直算下去，得到一个基本规律

结论3：一个十进制小数要能用浮点数精确表示，最后一位必须是5，因为1 除以2永远是0.5，当然这是必要条件，并非充分条件。

一个m位二进制小数能够精确表示的十进制小数有多少个呢？当然是个。推演如下：

一位二进制小数能够精确表示的小数只有个：。

两位二进制小数能够精确表示的小数有个：。

三位二进制小数能够精确表示的小数有个：

…

m位二进制小数能够精确表示的十进制小数就是个。而m位十进制小数有个，因此，能精确表示的十进制小数的比例是，m越大，比例越小。以常用的单精度和双精度浮点数为例，m分别是24和53，则比例为：和，小到可以忽略不计。

5、FAQ：C/C++库函数函数printf()是如何忽悠我们的？

Q：既然绝大部分浮点小数都不能精确表示十进制小数，为什么printf()经常能打印出准确的值？

A： 因为IEEE 754对二进制到十进制的转换有明确规定，见前面2.d）。而且函数printf()默认情况下只打印7位有效数字，在误差不大的情况下是没有问题的，但 是，我们经常见到这样的结果“.xxxx999999”。用printf(“%.17lf”, …)；可以让浮点数显出原形。

6、与IEEE 754相关的标准

本文的结论基于IEEE 754标准，另外一个标准是IEEE 854，这个标准是关于十进制浮点数的，但没有规定具体格式，所以很少被采用。另外，从2000年开始，IEEE 754开始修订，被称为IEEE 754R（），目的是融合IEEE 754和IEEE 854标准，已经在工作组内进行表决，还没有被IEEE表决通过，估计也快了。该标准在浮点格式方面的修订如下：

a) 加入了16位和128位的二进制浮点数格式。

b) 加入了十进制浮点数格式，采用了IBM公司（）提出的格式，Intel公司也提出了自己的格式，但未被采纳，只留了口子。（标准从来都是企业利益博弈的产物）。

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