ieee754_ieee754转换工具 _ieee754浮点数(2)

a 与b都是三位有效数字，但是，a＋b的精确结果为3.744，是四位有效数字，对于该浮点格式只有三位精度，a＋b的结果无法精确表示，只能近似表示，具 体运算结果取决于舍入模式（见舍入模式的说明）。同理，由于浮点格式固定，对于其他基本运算，结果也几乎无法精确表示。ieee754

d)在十进制字符串和两种基本浮点格式之一的二进制浮点数之间进行转换的准确度、单一性和一致性要求。

对于在指定范围内的操作数，这些转换必须生成精确的结果（如果可能的话），或者按照规定舍入模式的规则，对此类精确结果进行最低限度的修改。对于不在指定范围内的操作数，这些转换生成的结果与精确结果之间的差值不得超过取决于舍入模式的指定误差。

说明：这 一条规定是针对十进制字符串表示的数据与二进制浮点数之间相互转换的规定，也是一般编程者最容易产生错觉的事情。因为人最熟悉的是十进制，以为对于任意十 进制数，二进制都应该能精确表示，其实不然。本文主要目的就是揭密二进制浮点数所能够精确表示的十进制数，如果你以前没有想过这个问题，绝对让你吃惊。卖 个关子先！

e)五种类型的IEEE浮点异常，以及用于向用户指示发生这些类型异常的条件。

五种类型的浮点异常是：无效运算、被零除、上溢、下溢和不精确。

说明：关于浮点异常，见Kahan教授的《Lecture Notes on IEEE 754》，这里我就不浪费口水了。

f)四种舍入方向：

向最接近的可表示的值；当有两个最接近的可表示的值时首选“偶数”值；向负无穷大（向下）；向正无穷大（向上）以及向0（截断）。

说明：舍入模式也是比较容易引起误解的地方之一。我们最熟悉的是四舍五入模式，但是，IEEE 754标准根本不支持，它的默认模式是最近舍入（Round to Nearest），它与四舍五入只有一点不同，对.5的舍入上，采用取偶数的方式。举例比较如下：

例2：

最近舍入模式：Round(0.5) =0; Round(1.5) = 2; Round(2.5) =2;

四舍五入模式：Round(0.5) =1; Round(1.5) = 2; Round(2.5) =3;

主要理由：由 于字长有限，浮点数能够精确表示的数是有限的，因而也是离散的。在两个可以精确表示的相邻浮点数之间，必定存在无穷多实数是IEEE浮点数所无法精确表示 的。如何用浮点数表示这些数，IEEE 754的方法是用距离该实数最近的浮点数来近似表示。但是，对于.5，它到0和1的距离是一样近，偏向谁都不合适，四舍五入模式取1，虽然银行在计算利息 时，愿意多给0.5分钱，但是，它并不合理。ieee754例如：如果在求和计算中使用四舍五入，一直算下去，误差有可能越来越大。机会均等才公平，也就是向上和向下各 占一半才合理，在大量计算中，从统计角度来看，高一位分别是偶数和奇数的概率正好是50% : 50%。至于为什么取偶数而不是奇数，大师Knuth有一个例子说明偶数更好，于是一锤定音。最近舍入模式在C/C++中没有相应的函数，当 然，IEEE754以及x86 FPU的默认舍入模式是最近舍入，也就是每次浮点计算结果都采用最近舍入模式，除非用程序显式设置为其它三种舍入模式。

另外三种舍入模式，简要说明。

向0（截断）舍入：C/C++的类型转换。(int) 1.324 = 1，(int) -1.324 = -1;

向负无穷大（向下）舍入：C/C++函数floor()。例如：floor(1.324) = 1，floor(-1.324) = -2。

向正无穷大（向上）舍入：C/C++函数ceil()。ceil(1.324) = 2。Ceil(-1.324) = -1;

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