构造偶数和奇数幻方的四步法

摘要: 阐明了从奇数幻方构造单数和偶数n = 2（2m +1）（m = 2，3，…是自然数）幻方的四步法和定理. 证明. 关键词: 奇数幻方；奇偶幻方;四步法中文图书馆分类: O 157.2文档标识码: A文章编号: 1674-4942（2013）02-0145-07 Jansen 1，王慧峰2.黄兰3 *（1.广东师范大学计算机科学系广东工业大学，广东广州510665； 2. 海南师范大学数学与统计学院，海南海口571158； 3. 海南师范大学学报编辑部，海南海口571158）摘要: 这四个方面给出了可以构造单个偶数n = 2（2m +1）（m = 2，3，...是自然数）的定理，并给出了奇数阶幻方，并给出了详细的证明. 关键字: 奇数阶幻方；单偶阶幻方；四步法四步法构造单偶阶幻方詹森，王慧峰，黄岚3 *（1.

广东技术师范学院计算机科学系，广东广州510665； 2.海南师范大学数学与统计学院，海口571158； 3.海南师范大学学报编辑部，海口571158）构建奇偶阶幻方的四步法，第26卷，第2期，2013年6月，海南师范大学学报（自然科学版）. 2月26日. 在2013年魔方构造方法的研究中，奇数阶魔方和双偶数阶魔方的构造方法已经取得了很多成就，对于单阶和偶数阶魔方，n = 2的阶数（2m +1）对于魔术广场，人们很久以来一直没有找到有效的施工方法. 直到1918年，数学家拉尔夫·斯特拉奇（Ralph Strachey）经过不懈的努力，才发明了Stretch方法来构造奇数和偶数幻方，而Conway也发明了LUX方法[1].

文章[1]简要介绍了这些方法. n = 2m +1阶幻方由n = 2（2m +1）（m是自然数）阶幻方生成. 文章[2]〜[5]经过两步可以构造奇数阶幻方，完美幻方，对称幻方和对称完美幻方. 在下面的内容中，我们将讨论从奇数n = 2m +1（m = 2）构造一个单偶数n = 2（2m +1）（m = 2，3，…是自然数）阶魔术. 3，…是自然数）阶方的新方法现在解释如下: 第一步，n = 2（2m +1）（m = 2，3，...是自然数）阶数矩阵A设置如下: 方矩阵位于h行和k列中，元素为（h，k）（h = 1，2，...，n; k = 1，2，.. . ，n）然后1）h = 2t + 1，当t = 0，1，...，m +当1，对于1≤k≤2×（2m + 1），取（h，k）= 1，当k为奇数时；当k为偶数时，a（h，k）= 2. 当t = m + 2，...，2m时，对于1≤k≤2（2m +1），当k为奇数时取（h，k）= 2;当k为偶数时，a（h，k）= 1.

2）对于1≤k≤2（2m +1），h = 2t，t = 1，…，m，如果k = h-1，则取（h，k）= 0；如果k = h，则取（h，k）=3. 如果k≠h-1且k≠h，则当k为奇数时取（h，k）= 3. 当k为偶数时，a（h，k）= 0. 3）h = 2t，t = m + 1，对于1≤k≤2m，当k为奇数时取（h，k）= 3;当k为偶数时单偶数阶幻方，a（h，k）= 0. 对于2m +1≤k≤4m+ 2，当k为奇数时，（h，k）= 0；当k为偶数时，a（h，k）= 3. 4）h = 2t，t = m + 2，对于1≤k≤2m-2或2m +1≤k≤2m+ 4，当k为奇数时取（h，k）= 3; a（h，K）=0. 当k为偶数时. 对于2m-1≤k≤2m或2m +5≤k≤4m+ 2，当k为奇数时，取（h，k）= 0； a（h，k）= 3，当k为偶数时奇偶奇数幻方的阶数接收日期: 2013-02-10 *通讯作者. 5）对于2m-1≤k≤2m或2m +5≤k≤2m+ 6，h = 2t，t = m + 3，当k为奇数时a（h，k）= 3；当k为偶数时，a（h，k）= 0.

对于1≤k≤2m-2或2m +1≤k≤2m+ 4或2m +7≤k≤4m+ 2，当k为奇数时，取（h，k）= 0. 当k为偶数时，a（h，k）= 3. 6）h = 2t，t = m + 4，...，2m + 1，对于1≤k≤4m+ 2，如果k≠h-1和k≠h，取（h，k）= 0，当k为奇数时；当k为偶数时，a（h，k）= 3. 如果k = h-1，则取（h，k）= 3;如果k = h，则取（h，k）=0. 请注意，当m = 2时，（6）不存在. 在这里，取一个已知的或直接的（例如，根据[2]〜[5]的方法）来构造一个奇数n = 2m +1（m = 2、3…是自然数）阶幻方B.我们将在引理中证明，这样获得的平方矩阵是3（2m +1）的幻方常数，由代码0、1、2、3 n = 2（2m +1）（m = 2、3 ，...是自然数）的魔方. 按0、1×（2m +1）2、2×（2m +1）2、3×（2m +1）3×（2m +1）3的顺序，偶数n = 2（2m +1） ）（m = 2、3，...是自然数）阶幻方C，我们称其为根幻方.

用2×2第二步2（而不是代码0、1、2、3）替换Magic Square B中的每个数字，以获得与第三步具有相同数字的Magic Square常数. ，魔方常数为（2m +1）（（2m +1）2，3，…是自然数）魔方D（不言自明），我们称其为增强魔方. 2 +1）偶数阶n = 2（2m +1）（m =第四步根幻方和增强幻方是通过将1加到4（2m +1）（m = 2，3，..上面的构造偶数和奇数阶幻方的步骤称为四步法，其中n = 2（2m + 1）引理由2的自然数组成首先在步骤n = 2（2m +1）（m = 2，3，...是自然数）阶数方阵A是一个幻方，根据方阵A的定义，显然每行等于3（2m +1）. 找到以下k（k = 1，2，...，4m + 2）列代码的总和: 1）当h = 2t + 1时，t = 0， 1，…，m + 1，对于1≤k≤2（2m +证明1），当k为奇数时，a（h，k）= 1，因此，∑t = 0t = m + 1a（）h，k = m + 2;当k为偶数时，a（H，k）= 2，因此，t = m + 1∑t = 0a（）h，k = 2（）m + 2.

t = m + 2，...，2m，对于1≤k≤2（2m +1），当k为奇数时，a（h，k）= 2，因此∑t = m + 2t = 2ma （）h，k = 2（）m-1；当k为偶数时，a（h，k）= 1，因此，∑t = m + 2t = 2ma（）h，k = m-1. 综上所述，当k为奇数时，t = 2ma（）h，k = ∑∑t = 0t = 0t = m + 1a（）h，k + ∑t = m + 2t = 2ma（）h，k =（M + 2）+2（m-1）= 3m;当k为偶数时，t = 2ma（h，k = ∑∑t = 0）t = 0t = m + 1a（）h，k + ∑ t = m + 2t = 2ma（）h，k = 2（m + 2）+（m-1）= 3m + 3; 2）当h = 2t时，t = 1，...，m，1≤k≤2（2m +1）. 如果k≠h-1并且k≠h，则在k为奇数时取（h，k）= 3；当k为偶数时，a（h，k）= 0. 如果k = h-1，则取（h，k）= 0;如果k = h，则取（h，k）=3. 因此，如果1≤k≤2m，则当k为奇数时，∑t = 1t = ma（）h，k = 3（m-1）+ 0 = 3（m-1）;当k为偶数时，∑t = 1t = ma（）h，k = 0×（m-1）+ 3 = 3.

如果2m +1≤k≤4m+ 2，则当k为奇数时，∑t = 1t = ma（）h，k = 3m；当k为偶数时，∑t = 1t = ma（）h，k =0. 3）h = 2t，t = m + 4，...，2m +1，对于1≤k≤4m+ 2，如果k ≠h-1和k≠h，取（h，k）= 0;当k为奇数时；当k为偶数时，a（h，k）= 3. 如果k = h-1，则取（h，k）= 3;如果k = h，则取（h，k）= 0.因此，如果1≤k≤2（m + 3），则当k为奇数时，t = 2m + 1a（）h，k = 0×（ ∑t = m + 4）m-2 = 0;当k为偶数时，∑t = m + 4t = 2m + 1a（）h，k = 3（）m-2. 如果2m +7≤k≤4m+ 2，则为奇数时，t = 2m + 1a（）h，k = 0×（∑t = m + 4）m-3 +3 = 3；当k为偶数时，T = 2m + 1∑t = m + 4a（）h，k = 3（）m-3 + 0 = 3（）m-3. 从第一步的3），4）和5）开始，当1≤k≤2m-2且k为奇数时，偶数行上k列的代码总和为t = 2m + 1a（）h， k = ∑t = 1∑t = 1t = ma（）h，k + a（）2（）m +1，k +146海南师范大学学报（自然科学版）2013 2引理证明a（）2（ ）m + 2，k + a（）2（）m + 3，k + ∑t = m + 4t = 2m + 1a（）h，k = 3（m-1）+ 3 + 3 + 0 + 0 = 3（M-1）.

根据以上1），当1≤k≤2m-2且k为奇数时，奇数行上k t = 2m列的代码之和为∑t = 0a（）h，k = 3m. 因此，当1≤k≤2m-2且k为奇数时，k列上的代码之和为h = 4m + 2a（）h，k = 3（m + 1 + 3m = 3（∑h = 1））2m +1. （1）当1≤k≤2m-2且k为偶数时，偶数行上列k的代码之和为h = 2m + 1∑t = 1a（ ）h，k = ∑t = 1t = ma（）h，k + a（）2（）m + 1，k + a（）2（）m + 2，k + a（）2（）m + 3 ，k + ∑t = m + 4t = 2m + 1a（）h，k = 3 + 0 + 0 + 3 + 3（m-2）= 3m. 当1≤k≤2m-2且k为偶数时，列k位于奇数t = 2ma（）h，k = 3m +3. 因此，当1≤row上的代码之和为∑t =0k≤2m-2并且k为偶数，k列上的代码之和为h = 4m + 2a（）h，k = 3m +（∑h = 1）3m + 3 = 3（）2m + 1 . （2）偶数行上k = 2m-1列的代码总和为h = 2m + 1a（）h，k = ∑t = 1∑t = 1t = ma（）h，k + a（ ）2（）m + 1，k + a（）2（）m + 2，k + a（）2（）m + 3，k + ∑t = m + 4t = 2m + 1a（）h，k = 3（m -1）+ 3 + 3 + 0 + 0 = 3（m +1）;奇数行上的代码之和为∑t = 0t = 2ma（）h，k = 3m.

因此，列k = 2m-1上的代码之和为h = 4m + 2a（h，k = 3（∑h = 1））m +1 + 3m = 3（）2m +1; （3）偶数行上k = 2m列的代码之和为h = 2m + 1a（）h，k = ∑t = 1∑t = 1t = ma（）h，k + a（）2（） m + 1，k + a（）2（）m + 2，k + a（）2（）m + 3，k + ∑t = m + 4t = 2m + 1a（）h，k = 3 + 0 + 0 + 3 +3（m-2）= 3m； k = 2m列的奇数行上的代码之和为∑t = 0t = 2ma（）h，k = 3m +3. 因此，k = 2m列上的代码之和为∑h = 1h = 4m + 2a（）h，k = 3m + 3（）m +1 = 3（）2m +1. （4）当2m +1≤k≤2m+ 4并且k为奇数时，的代码之和偶数行上的第k列为t = 2m + 1a（∑t = 1）h，k = ∑t = 1t = ma（）h，k + a（）2（）m + 1，k + a（）2（ ）m + 2，k + a（）2（）m + 3，k + ∑t = m + 4t = 2m + 1a（）h，k = 3m + 0 + 3 + 0 + 0 = 3m +3. <

本文来自电脑杂谈，转载请注明本文网址：
http://www.pc-fly.com/a/jisuanjixue/article-169636-1.html