构造偶数和奇数幻方的四步法(2)

根据以上1），当2m +1≤k≤2m+ 4且k为奇数时，奇数行上k列的代码之和为∑t = 0t = 2ma（）h，k = 3m. 因此，当2m +1≤k≤2m+ 4且k为奇数时，列k上的代码之和为h = 4m + 2∑h = 1a（）h，k = 3（）m + 1 + 3m = 3（）2m +1. （5）当2m +1≤k≤2m+ 4且k为偶数时，偶数行上第k列的代码之和为h = 2m + 1a（∑t = 1）h，k = ∑t = 1t = ma（）h，k + a（）2（）m + 1，k + a（）2（）m + 2，k + a（）2（）m + 3，k + ∑t = m + 4t = 2m + 1a（）h，k = 0 + 3 + 0 + 3 + 3（m-2）= 3m. 当2m +1≤k≤2m+ 4且k为偶数时，列k位于t = 2ma（奇数行的代码之和为∑t = 0）h，k = 3m + 3. 2m +1≤k≤2m+ 4并且k是偶数，第k列的代码之和为∑h = 1h = 4m + 2a（）h，k = 3m +（）3m + 3 = 3（） 2m +1.

（6）偶数行上k = 2m + 5列的总和为h = 2m + 1a（）h，k = ∑t = 1∑t = 1t = ma（）h，k + a（） 2（）m +1，k + a（）2（）m + 2，k + a（）2（）m + 3，k + ∑t = m + 4t = 2m + 1a（）h，k = 3m + 0 + 0 + 3 + 0 = 3m + 3;奇数行上的代码之和为∑t = 0t = 2ma（）h，k = 3m. 因此，列k = 2m + 5中的代码之和为h = 4m + 2a（）h，k =（∑h = 1）m + 3 + 3m = 3（）2m +1. （7）和位于偶数行上的k = 2m + 6列的h = 2m + 1a（）h，k = ∑t = 1∑t = 1t = ma（）h，k + a（）2（）m + 1，k +阶段2 Jensen等人: 构造偶数和奇数幻方的四步法147a（）2（）m + 2，k + a（）2（）m + 3，k + ∑t = m + 4t = 2m + 1a（）h，k = 0 + 3 + 3 + 0 + 3（m-2）= 3m；奇数行上的代码之和为∑t = 0t = 2ma（）h，k = 3m +3. 因此，列k = 2m + 6中的代码之和为h = 4m + 2a（）h，k = 3m +（∑h = 1）3m + 3 = 3（）2m +1.

（8）当2m +7≤k≤4m+ 2且k为奇数时，偶数行上第k列的代码之和为t = 2m + 1a（∑t = 1）h，k = ∑t = 1t = ma（）h，k + a（）2（）m + 1，k + a（）2（）m + 2，k + a（）2（）m + 3，k + ∑t = m + 4t = 2m + 1a（）h，k = 3m + 0 + 0 + 0 + 3 = 3m +3. 根据上面的1），当2m +7≤k≤4m+ 2且k为奇数时，奇数行上第k列的代码总和为∑t = 0t = 2ma（）h，k = 3m. 因此，当2m +7≤k≤4m+ 2且k为奇数时，列k上的代码之和为h = 4m + 2∑h = 1a（）h，k =（）3m +1 + 3m = 3（）2m +1. （9）当2m +7≤k≤4m+ 2且k为偶数时，偶数行上第k列的代码之和为h = 2m + 1a（∑t = 1 ）h，k = ∑t = 1t = ma（）h，k + a（）2（）m + 1，k + a（）2（）m + 2，k + a（）2（）m + 3 ，k + ∑t = m + 4t = 2m + 1a（）h，k = 0 + 3 + 3 + 3 + 3（m-3）= 3m.

根据以上1），当2m +7≤k≤4m+ 2且k为偶数时，奇数行上第k列的代码之和为∑t = 0t = 2ma（）h，k = 3m + 3. 因此，当2m +7≤k≤4m+ 2且k为偶数时，k列上的代码之和为h = 4m + 2∑h = 1a（）h，k = 3m +（）3m + 3 = 3（）2m +1. （10）到目前为止，已经证明，代码正方形阵列A的每一行和每一列的代码之和等于3（2m +1）. 现在考虑对角线上的情况. 从左上角到右下角，对角线在偶数线上. 码的总和为t = 2m + 1a（）h，h = ∑∑t = 1t = 1t = ma（）h，h + a（）2m + 2，2m + 2 + a（）2m + 4， 2m + 4 + a（）2m + 6，2m + 6 + ∑t = m + 4t = 2m + 1a（）h，h = 3m + 3 + 0 + 0 + 0 = 3m + 3;奇数行上的代码总和为t = 2ma（h，h = ∑∑t = 0）t = 0t = m + 1a（）h，h + ∑t = m + 2t = 2ma（）h，h = 1 ×（）m + 2 +2（）m-1 = 3m. 因此，从左上角到右下角的对角线上的代码之和为h = 4m + 2a（）h，h =（3m + 3 + 3m = 3（∑h = 1））2m + 1

从右上角到左下角，偶数线上的对角线分别为∑t = 1t = 2m + 1a（）h，n + 1 -h = ∑t = 1t = ma（）h， n + 1 -h + a（）2m + 2，2m + 1 + a（）2m + 4，2m-1 + a（）2m + 6，2m-3 + ∑t = m + 4t = 2m + 1a（ ）h，n + 1 -h = 3m + 0 + 0 + 0 + 0 = 3m;奇数行上的代码之和为t = 2ma（h，n + 1 -h = ∑∑t = 0）t = 0t = m + 1a（）h，n + 1 -h + ∑t = m + 2t = 2ma（）h，n +1 -h = 2（）m + 2 +1×（）m-1 = 3m +3. 因此，对角线上从右上角到左下角的代码之和是t = 4m + 2a（）h，n + 1 -h = 3m +（∑h = 1）3m + 3 = 3（）2m +1. 总而言之，代码平方矩阵A是一个幻方，幻方常数为3（2m +1）. 通过四步定理获得的平方矩阵E是n = 2（2m +1）（m = 2，3，…是自然数）阶的法线幻方，由1到4（2m + 1）2.从引理证明，四步法和单步码方阵A是一个单偶数n = 2（2m +1）（m = 2，3，…是自然数）阶幻方，其幻方常数为3（2m +1）.

由此可见，第二步中获得的平方根矩阵C是一个单偶数n = 2（2m +1）（m = 2，3，…是自然数）幻方魔方常数3（2m +1）显然，在前三个步骤中获得的增强方阵D是单个偶数n = 2×（2m +1）（m = 2、3，…是自然数）阶幻方，其幻方常数为（2m +1）（（2m +1）2 +1）. 显然单偶数阶幻方，在前四个步骤中获得的平方矩阵E是一个单偶数n = 2（2m +1）（m = 2、3，…是自然数）阶魔术3. 方阵，其魔术平方常数为3 （2m +1）3+（2m +1）（（2m +1）2 +1）= 148海南师范大学学报（自然科学版）2013 3定理证明（2m +1）（3（2m +1） 2+（2m +1）2 +1）=（2m +1）（4（2m +1）2 +1）. 有待证明的是，魔方E是正常的魔方. 从根幻方C和增幅幻方D的叠加过程中可以知道，奇数n = 2（2m +1）（m = 2、3，…）的幻方B的每个元素都是自然数）等于0，（2m +1）2，2（2m +1）2，3（2m +1）2，魔方B由1到（2m +1）2的自然数组成E由1〜（2m +1）2，（2m +1）2 +1〜2（2m +1）2，2（2m +1）2 +1〜3（2m +1）2，3（ 2m +1）2 +1〜4（2m +1）2由自然数组成，即1〜（2（2m +1））2由自然数组成，所以魔方E是普通魔方

使用四步法构造一个18阶魔方: 通过四步法获得的由代码0、1、2和3组成的第一步魔方是一个18阶魔方，其中常数3×9 = 27个甲方（见图1）. 通过两步法构造9阶幻方B（见图2）；依次将代码0、1、2、3替换为0、92 = 81、2×81 = 162、3×81 = 243，以获得魔方常数18阶根魔方C为2187（请参见图3） ）. 将上述9阶幻方B中的每个数字替换为由相同数字组成的2×2方阵，并获得2幻方常数为2×369 = 738的18阶增幅幻方D（请参见图4）. 步骤2步骤3图1 18阶代码魔术方块A图. 1 18阶代码魔方，第2期Jensen等人: 构造偶数和奇数阶魔方149的四步法图2 9阶代码魔方B 2 9阶代码魔方图3 3阶代码魔方C 3 18阶代码幻方150海南师范大学学报（自然科学版）2013 2013图4 18阶代码幻方D 4 18阶代码魔方图5 18阶代码魔方EFig.

5个18阶代码幻方，第2期Jensen等人: 构造奇偶阶幻方的四步法151第四阶根幻方C和增强幻方D叠加，由1组成〜324 18阶幻方E（请参见图5）. 通过四步法，每个9阶魔方可以得到18阶魔方. 例如，通过两步法可以获得9阶魔方，因为两步法可以获得8×7×6×5×4×3×2×1 = 40320个不同的9阶魔方，因此可以获得相同数量的40320个不同的18阶幻方. 参考文献: [1]吴鹤龄. 幻方等[M]. 北京: 科学出版社，2004: 69-73. [2] [3] [4] [5]负责编辑: 黄兰詹森，王慧峰. 构造奇数阶幻方，完美幻方和对称完美幻方的新方法[J]. 海南师范大学学报: 自然科学版，2011，24（3）: 265-269. 贾森，王慧峰. 构造奇数阶对称幻方和奇偶数分离对称幻方的新方法[J]. 海南师范大学学报: 自然科学版，2011，24（4）: 395-399. 王慧峰构造奇幻幻方和对称完美幻方的两步法[J]. 海南师范大学学报: 自然科学版，2012，25（1）: 28-31. 王慧峰，詹森. 构造三种奇数阶幻方的新方法[J]. 海南师范大学学报: 自然科学版，2010，23（1）: 12-15; 28.

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