（高中数学选修2）

上一堂新课. 回顾平面向量的基本定理. 如果两个向量a和b不是共线的，那么对于平面中的任何向量p，都有一个有序的实数数组{x，y}，因此p = xa + yb. 当向量a垂直于向量b时，这种分解称为平面向量的正交分解. 平面中向量的这些属性可以推广到空间吗？要探索模拟平面向量的正交分解，您能找到空间向量的正交分解吗？令i，j，k为空间中的三个二维向量，并具有一个公共起点O. 对于空间中的任何向量p = OP，令Q为点i在由i，j确定的平面上的正投影. 从平面向量的基本定理可以知道z P k O j i x Q y. 在由OQ k确定的平面上，存在一个实数z，使得OP = OQ + zk. z P k O j i x Q y在由i，j确定的平面上. 根据平面向量的基本定理，有序的实数对（x，y），使得OQ = xi + yj. zk O jix Q y OP = OQ + zk，OQ = xi + yj，因此OP = OQ + zk = xi + yj + zk z P k O jix Q y从上面的证明中，如果i，j，k是空间3有两个垂直向量. 然后，对于空间中的任何向量p，都存在一个有序的实数数组{x，y，z}，因此p = xi + yj + zk.

将xi，yj，zk称为i，j，k上向量p的部分向量. 注意，空间矢量的正交分解类似于平面矢量的正交分解，不同之处在于分解结果中存在一个附加的“项”. 探索模拟平面向量的基本定理，可以推导出空间向量的基本定理吗？假设a，b和c不共面，通过点O为OA = a，OB = b，OC = c，OP = p；使P作为平行于OC的直线PP'，与平面OAB相交并与点P'相交；在OAB平面中，交点P'是直线P'A'// OB和P'B'// OA. COABA'PB'P'有三个实数x，y，z，因此OA'= xOA = ya，OB'= yOB = yb，P'P = zOC = zc，OP = OA'+ OB'+ P P ＝ xOA + yOB + zOC. 因此，p ＝ xa + yb + zc. COAB A'P B'P'定理如果三个向量a，b和c不是共面的，那么对于空间中的任何向量p，都存在一个有序的实数数组{x，y，z}，使得p = xa + yb + zc. 注意空间向量的基本定理表明，在空间中，三个非共面向量组{a，b，c}可以线性表示空间中的任何向量，并且表达结果是唯一的.

空间向量的基本定理. 如果三个向量a，b和c不共面，则所有空间向量的集合为{p | p = xa + yb + zc，x，y，z∈R}. 可以将c b a集合{p | p = xa + yb + zc，x，y，z∈R}视为由向量a，b和c生成. {a，b，c}被称为空间的底，而a，b和c被称为底向量. 基向量c b a注意对于底{a，b，c}，需要澄清以下几点: 1.向量a，b和c不是共面的； 2.空间中的任何三个非共面向量都可以用作空间向量的基础； 3.由于0可以被视为与任何非零向量共线并且与任何两个非零向量共面，因此这三个向量不是共面的，这意味着它们都不是非零的. 4.基础是指向量组，基础向量是指基础中的某个向量. 令e1，e2，e3是三个具有公共点O的成对垂直单位向量（称它们为单位正交底），以O为原点，以e1，e2和e3的方向为x轴，y- z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. 对于空间中的任何矢量p，必须对其进行平移，使其起点与原点O一致，以获得矢量OP = p. 根据空间矢量的基本定理，存在一个有序实数数组{x，y，z}，使得p = xe1 + ye2 + ze3.

以单位正交基础e1，e2，e3调用向量p的坐标x，y有空间向量基本定理可知，z，并记录为p =（x，y，z）. 此时，向量p的坐标正好是空间直角坐标系Oxyz中的点P的坐标（x，y，z）. 这样，我们就可以从正交基转换为空间直角坐标系. 计算单位正交基之间的乘积: e1？e2，e1？e3，e2？e3，e1？e1，e2？e2，e3？e3. e1≤e2＝e1≤e3＝e2≤e3＝ 0. e1？e1 = e2？e2 = e3？e3 = 1. 该示例显示在多维数据集ABCD-A'B'C'D'中. 点E和F是上底座A'C'和侧面CD'的中心. 如果满足AF-AD = xAB + yAA'，则找到x，y值. A1 D1 B1 E C1 FDABC 1 1 AF？广告？ DF？ DC1 ?? DC？ DD1？ 2 2 1 1？ AB？ AA1？ X AB？ Y AA1 2 2 1 1所以，x？，Y？ 2 2 A1 D1 E C1 ABCFD B1类摘要1.空间向量的基本定理. 在空间中，具有大小和方向的量如果三个向量a，b和c不是共面的，那么对于空间中的任何向量p有空间向量基本定理可知，都有一个有序的实数数组{x，y，z}，使得p = xa + yb + zc.

2. 基向量和基向量. 空间中的任何三个非共面向量都可以用作空间向量的基础. 基础是指向量组，基础向量是指基础中的某个向量. 3.空间向量的正交分解. 它可以从正交基转换为空间直角坐标系. 高考链接1.（安徽卷2006）在平行四边形ABCD中，AB = a，AD = b，1 1？一个？ b AN = 3NC，M是BC的中点，然后MN = _______. 4 4（由a和b指示）凌晨1点？一个？ B是AN = 3NC，4AN = 3AC = 3（a + b），2 3 1 1 1所以MN？ （A？B）？ （A？B）??一个？ b 4 2 4 4 2.如图所示，在直三角棱镜ABC-A1B1C1中，AB = BC，D和E分别是BB1和AC1的中点. 证明ED是不同平面的直线BB1和AC1的共同垂直线. 如图所示，建立直角坐标系O-xyz，其中原点O为AC的中点. 让A（a，

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