动车组票价定价的规划

2 0 1 0 届校内 数学建模竞 赛题目名 题目名 称 ：动车组票价定价的规划 参 赛 队 号 ： zjtiemath11殳惠东、阮道明、 队员姓名：殳惠东、阮道明、章程申请举办国家大赛□ 竞赛类别：申请举办国家大赛 不申请举办国家大赛□ 不申请举办国家大赛选择题号（在方格内打√） 选择题号 乙组 A B √浙江经济职业技术学院数学建模基地组委会制 二○一○年四月2010 届校内英语建模大赛题 目动车组票价定价的规划摘 要：本文探讨缓解在充分考量出行者和公路货运部门两方面的利益情况下，给出 一个折扣的铁路客票， 既能保障出行者使自己的乘车费用最小， 让多数旅客满意， 又能使铁路货运部门在物流市场中获得的经济效益最大。 在如下条件下建立出最 优策略的高铁车票价格：在铁道部目前尚未发布的车票价格，根据不同时期、不 同季节、不同线路对车票价格进行调节，但调节范围上限在公示票价，下限则不 低于最高价格的六折。而按照统计数据推测，旅客才能承受的平均运营费用为： 0.2465 元/公里。问：如何在以最快速度收回利润，并让六成旅客对旅行费用满 意（平均运营费用浮动不少于 15%）条件下的折扣？四趟动车组 D1，D23，D25， D37 均选用统一或不同的折扣即合理性？题设的约束条件下，我们觉得这个难题 基本上是价格最优化问题。

于是采取改进设想的方式， 按照出行者出行费用最小， 铁路货运部门取得最大经济效益原则，同时改进统一或不同的折扣，设计出近似 的最优价格，以此计算出出行者和公路货运部门两方面都能接受的折扣费用。 对于疑问一，我们借助在 D1 列车满足游客数量与浮动价格的条件下进行的 分析，即在以最快速度收回利润，并让六成旅客对旅行费用满意（平均运营报价 浮动不少于 15%）条件下的折扣，这时就是计算 D1 列车最大利润时的折扣价。 通过数型结合的剖析，去确认最终的费用。 对于难题二, 计算四趟动车组 D1，D23，D25d23动车时刻表，D37 均采取统一折扣。我们通 过数型结合，在计算出 D1、D23、D25、D37 四辆列车分的利润关系式，在把四个 关系式结合成总的利润式，计算在总收入最大时的折扣，即在最快回收利润时的 折扣。 对于问题三，计算四趟动车组 D1，D23，D25，D37 采用不同折扣率，我们也 是利用数型结合的方式，分别计算出 D1、D23、D25、D37 四辆列车分的利润关系 式，再求出他们各自的最大利润，即最快回收利润时得打折。 关键词：票价，最优折扣，线性规划，数型结合一、 问题重述在 2007 年 4 月 18 日，中国高铁迎来第六次大面积提速，投入使用的 D 字头 列车的时速将达 200 公里及以下，平均每英里投资约 495 万元。

单列 CRH 列车的 投资是 2 亿元。动车组的营运费用每趟 10 万元/每千公里。在他们抱怨飞机速度 提高的同时，D 字头动车票价的提升却遭到了多方质疑。以费用也是公示价格， 并不一定是最高价格， 各地铁路运输单位可以按照不同时期、 不同季节、 不同线路对车票价格进行调节， 但调节范围上限在公示票价，下限则不超过最高价格的六折。因而将北京局的四 趟线路近几年的 4 月 20-6 月 19 日的平均乘车人数进行了统计。 根据统计数据可 知，旅客才能承受的平均运营费用为：0.2465 元/公里。 要在充分考量出行者和公路货运部门两方面的利益情况下，给出一个折扣的 铁路客票价格制订的最优策略。既能保障出行者使自己的乘车费用最小，让多数 旅客满意，又能使铁路货运部门在物流市场中获得的经济效益最大。 问题 1 按照以下要求，假设以最快速度收回利润，并让六成旅客对旅行价 格满意（平均运营费用浮动不少于 15%），讨论北京局的动车组 D1 的折扣。

问题 2 假设北京局的四趟动车组 D1，D23，D25，D37 均采取统一折扣。给 出统一的折扣率。并表明方法的合理性。 问题 3 假设北京局的四趟动车组 D1，D23，D25，D37 采用不同折扣率。给 出一个动车组票价的微调方案，并表明合理性。二、问题假如（1）所给数据具备代表性，且觉得是具体可靠的。 （2）不考虑具体乘坐是硬座，软卧还是软座，均假设每列车只有卧铺车。 （3）动车在运行时不发生较大的问题。 （4）铁路货运部门在物流市场中所需的平均利润或者所获得的经济效益不变。 （5）旅客才能承受的平均运营费用变动浮动不大。 （6）两趟车之间没有停顿。三、符号表明x:平均运营费用y ：每趟动车运营的成本p:每趟列车的乘客数量f：列车的固定成本s ：时间d ：列车来回一趟t ：运营费用的折扣四、问题探讨由以下给出的资料中我们可以看出，此题是关于价格的线性规划难题，在网 上查阅对照有关于线性规划得材料，可以得出题目是要求出最大利润，在关于现 有价格与原价格得非常得出给出的折扣是多少， 才能保障出行者使自己的乘车费 用最小，让多数旅客满意，又能使铁路货运部门在物流市场中获得的经济效益最 大。

问题一的剖析：首先得出旅客数量与运营费用的关系，再得出 D1 列车每趟 车所能获得的最大利润，则此时的运营价格也能够相应的求出，然后再按照 D1 列车来回一趟的时间，计算出在 D1 列车每趟车所能获得的最大利润时必须多少 时间能够回收总费用。最后在按照所画得图，通过数型结合，验证所求的最大利 润在所规定的区间内是恰当的。 问题二的预测：所规定的是北京局的四趟动车组 D1，D23，D25，D37 均采取 统一折扣， 则首先求出每辆列车的营运价格， 再借助题一中的数量与价格的关系， 代入，求出 D1、D23、D25、D37 每辆火车每趟所能获得的收益。然后再求出四辆 列车的总关系式。最后借助数型结合，画图得出当总收入最大时的统一折扣。 问题三的预测：所规定的是北京局的四趟动车组 D1，D23，D25，D37 均选用 不同的折扣，则首先则首先求出每辆列车的营运价格，再借助题一中的人数与价 格的关系，代入，求出 D1、D23、D25、D37 每辆火车每趟所能获得的收益。然后 再分别求出四辆列车的分别在最大利润时的折扣。 最后画图得出每辆火车的折扣 是在让旅客满意是所能得到的最大的收益。五、模型的构建与求解问题 1：根据以下内容或者条件，设 平均营费用，x 为打折后的运营费用， x1 为旅客无法承受的D1x2 为平均运营费用， y1 为 D1 列车每趟火车营运的成本， p1每趟列车的乘客人数， 收回总的费用的时间， 由题意得：s 为时间， s1 为 D1 列车来回一趟车的时间， s总 为f为列车的固定成本，d 为列车来回一趟。

x 1 = 0 . 2465x2 = 10万元 / 千公里 = 100元 / 公里设p1 = kx + b0.2465k + b432 = (0.2465 × 1.15) k + b求得有已知条件可得： 687 =k = ?6897b = 2387则p1 = ?6897 x + 2387y1 = 868( xp1 ? x2 )则 D1 列车每趟火车营运的收益 代入p1 = ?6897 x + 2387得y1 = 868[(?6897 x + 2387) x ? 100]y1 = 868(?6897 x 2 + 2387 x ? 100)y1 = ?5986596 x 2 + 2071916 x ? 86800因为由题意所规定的是最大利润，所以maxy1 = ?5986596 x 2 + 2071916 x ? 86800s.t0.209525 ≤ x ≤ 0.283475由题意得 1s = 785分 ≈ 13小时f = 495万 × 868 + 2亿 = 44.966亿当x = 0.209525 时，d = f / y1max = 44.966亿 /(84502 × 2) = 44.966亿 / 169004 ≈ 26606s总 = 26606 ×13 = 345878小时 = 14411天 = 39.5年y1x根据图所得当x = 0.209525 时 ， D1列车每趟火车营运的成本最大y1max = 84502 元，铁路货运部门在第 39.5年 收回利润，则这时的折扣85% 。

问题 2： 根据以下内容及其条件，设x 为折扣后的运营费用单价， x1 为旅客能够承y1 D1 列车每趟动x 受的平均营费用， 2 为平均运营费用， y 为列车的总盈利，车营运的收益， 的收入,y2 D23 列车每趟火车营运的成本, y3 D25 列车每趟火车营运p1D1 每趟列车的乘客人数， 为y4D37 列车每趟火车营运的收益,t运营费用的折扣。 由题意得x = 261tx = 373tx = 464tx = 184t同时由问题一得 则p1 = ?6897 x + 2387y1 = 868( xp1 ? x2 )代入 得p1 = ?6897 x + 2387y1 = 868[(?6897 × 261t + 2387) × 261t ? 100]y1 = 868(?6897 × 261t 2 + 2387 × 261t ? 100)y1 = ?1562501556t 2 + 540770076t ? 86800y2 = 868( xp1 ? x2 )代入p1 = ?6897 x + 2387y2 = 868[(?6897 × 373t + 2387) × 373t ? 100]y2 = 868(?6897 × 373t 2 + 2387 × 373t ? 100)y2 = ?2233000308t 2 + 772824668t ? 86800得y3 = 868( xp1 ? x2 )代入p1 = ?6897 x + 2387得y3 = 868[(?6897 × 464t + 2387) × 464t ? 100]y3 = 868(?6897 × 464t 2 + 2387 × 464t ? 100)y3 = ?2777780544t 2 + 9613609014t ? 86800y4 = 868( xp1 ? x2 )代入p1 = ?6897 x + 2387得y4 = 868[(?6897 ×184t + 2387) ×184t ? 100]y4 = 868(?6897 ×184t 2 + 2387 ×184t ? 100)y4 = ?1101533664t 2 + 381232544t ? 86800因为由题意所规定的是四辆列车 D1、D23、D25、D37 的最大总利润，所以max y = y1 + y2 + y3 + y4y = ?1562501556t 2 + 540770076t ? 86800 ? 2233000308t 2 + 772824668t ? 86800 ? 2777780544t 2 + 9613609014t ? 86800 ? 1101533664t 2 + 381232544t ? 86800y = ?7674816072t 2 + 11308436302t ? 86800s.tty10.6 ≤ t ≤ 1ty1t根据图所得，当tt ≈ 0.75 时 D1、D23、D25、D37 四辆列车每趟所得的收益y max = 4164156386 元，所以北京局的四趟动车组 D1，D23，D25，D37均采取统一折扣七五折。

问题 3： 根据以下内容及其条件，设x 为折扣后的运营费用单价， x1 为旅客无法承x 受的平均营费用， 2 为平均营运费用，动车运营的收益， 营的收入,y 为列车的总利润，y1 D1 列车每趟y2 D23 列车每趟火车营运的成本, y3 D25 列车每趟火车运p1D1 每趟列车的乘客人数，y4D37 列车每趟火车营运的成本,tt t t t 为折扣， 1 为 D1 列车的折扣， 2 为 D23 列车的折扣， 3 为 D25 列车的折扣， 4 为 D37 列车的折扣。由题意得x = 261t1x = 373t2 x = 464t3x = 184t4同时由问题一得 1)p1 = ?6897 x + 2387y1 = 868( xp1 ? x2 )代入p1 = ?6897 x + 2387= 868[(?6897 ×184t1 + 2387) ×184t1 ? 100]22得 y1y1 = 868( ?6897 × 184t1 + 2387 × 184t1 ? 100)y1 = ?1562501556 t1 + 540770076 t1 ? 86800s.t0.6 ≤ t ≤ 1y1t根据图所得，当t ≈ 0.173 时D1 列 车 每 趟 所 得 的 利 润y1max = 46702314 元。

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