理想气体分子相对速度分布的推导

第36卷，第3期，广西物理学报2015年第3卷第3期33理想气体分子的相对速度分布推导*郑勇†（黔南民族师范学院物理与电子科学学院麦克斯韦速率分布函数 推导，贵州都匀558000）用与麦克斯韦速度分布的推导相对应的推导方法来讨论理想气体分子之间的相对速度分布的推导. 为了使推导更加紧凑，本文从分布函数梯度的几何意义出发，建立了分布函数满足的微分方程. 发现推导相对速度分布和推导速度分布的最大区别和难点在于确定要在指数函数中确定的常数，以及在平均相对速度的近似讨论中常用的公式. 可以帮助确定此常数. 可以一一对应地教两个分布函数. 关键词: 理想气体相对速度分布派生CLC编号: O414.1文件标识代码: A物品编号: 1003-7551（2015）03-0033-04 1引言在大学基础物理学过程中，理想气体分子的相对速度分布定律可用于计算分子的平均相对速度. 在讨论理想的气体传输特性时，它可用于计算平均碰撞频率和平均自由程. 尽管可以从麦克斯韦速度分布严格地得出平均相对速度，但是这种推导过程更加复杂.

因此，许多教科书使用一些近似推导思想，甚至直接给出理论结果，但这经常使学生感到困惑. 因此，如何严格讨论理想气体分子的相对运动而不增加教学难度是一个非常困难的问题. 作者在教学过程中发现可以通过讨论麦克斯韦速度分布规律来讨论相对分子速度分布规律. 这不仅会增加教学的难度，而且会巩固麦克斯韦速度分布的相关推导和计算. 但是，由于麦克斯韦速度分布本身很难讲授，为了使整个讨论更加简洁，我们首先改进教科书中常见的麦克斯韦速度分布推导过程[1,2]，并以更紧凑的方式表达它. 相对速度分布将在后面讨论. 2如果使用麦克斯韦速度分布的推导，（zy xv vv F分别代表速度分布函数）（x xv f，）（y yv f，）（z zv f代表分子xv，yv，zv 3关于速度分量的分布函数与一般教科书中的讨论相同，由于这三个速度分量在统计上是相互独立的，因此我们可以这样写: )（）（）（）,,（zzyyxxzy xv fvfvfvvv F （1）获得分布对于函数的特定形式，我们需要建立其满足的微分方程，并且常用的处理方法通常更为复杂[1].

在这里，我们将使用新的思想来建立每个分布函数都满足的微分方程. 考虑到理想气体分子的热运动在热平衡状态下是各向同性的，（zy xv vv F必须是各向同性的，这仅与速度有关. 换句话说，在速度空间中，分布函数取某个值由的所有速度空间点组成的“相等分布表面”必须是围绕原点对称的球形表面，因此，相等分布表面上的位置的法线方向始终沿该位置的径向. 结论蕴含着深远的物理意义. 从数学的角度来看，等分布面的法线向量对应于分布函数的梯度，速度空间的径向对应于速度），（zy xv vvv数学语言是法线方向Vector，（zy xv vv F vector矢量始终沿），（zy xv vv方向；同时使用（1），），（zy xv vv  n转换为: )'，'，'（）'，'，'（）,,（zzyyxxzyxzyxzyxzyxzy xf ffffffffffffffff fzFxFxFF接收日期: 2015-08-10 *贵州省教育规划青年Project（2014）C通讯作者: 34推导出气体分子zhengyongyb@163.com上的相对速度分布，矢量很明显，向量）'，'，'（zzyyx xf fffff也沿着），（zy xv vv方向，所以比例因子可以写为: ），（）'，'，'（zyxzzyyx xv vvffffff（2）（2）该公式实际上给出了三个由速度分布函数满足的微分方程分量: zz zy y yx x xv f fv f fvff'''（3）显然，比例因子是一个与xv，yv，zv无关的常数.

这与一般教科书中发现的类似微分方程是一致的[1]. 很容易解决: 221）（xvx xe Avf222）（yvy ye Avf223）（zvz ze Avf最后，从公式（1），）（22 2 2） ，（，zy xv v vz y xAe vvvF下面的讨论与普通教科书[1,2]中的讨论完全相同. 分布函数需要归一化，必须小于0. 引入2 ，我们最终可以得到归一化分布函数: )（232 2 2）（）,,（zy xv v vz y xe vvvF（4）使用理想平移动能之间的关系气体分子，如kT23，mkTv32（5），其中m是单个分子. 同时，23），（2 2zyxzyvdv dv dv（vv）可用: kTm2因此，我们得到了最终的麦克斯韦速度分布函数: )（2 232 2 2）2（）,,,（zy xv v vkTmz y xekTmv vvF3的推导相对速度分布函数我们可以在与推导麦克斯韦速度分布完全平行的步骤中推论理想气体分子之间的相对速度分布

考虑到理想气体中任意两个分子1v和2v the的速度在统计上是独立的并且彼此等效，因此两者之间的差异是两者之间的相对速度1 2v. vvr的三个分量x rxv，ryv和rzv在统计上也应相互独立且等效. 显然，任何两个分子之间的相对速度也是各向同性的. 可以预期，相对速度的分布函数应与形式上的速度分布函数相同. 如果使用），（rz ry rx rv vv F分别代表相对速度分布函数）（rx rxv f，）（ry ryv f，）（rz rzv f代表rxv，第36卷，第3期广西物理广西物理卷.36 No.3 2015 35 ryv，rzv的三个分量上的分布函数还应具有:)（）（）（）,,（rz rz ry ry rx rx rz ry rx rv fvfvfvvv F（7）（7 ）在推导速度分布函数时，公式与公式（1）完全对应，请重复上述关于速度分布函数的讨论: 相对速度也是各向同性的，其分布函数应在相对速度空间中平均分布. 是一系列对称球体，相等分布表面上的法线方向或坡度方向应沿径向，即），（（rz ry rx rv vvv方向，使用）'，'，'（）'， '，'（）,,（rz rz ry ry rx rx rx rz ry rx rz ry rx rz ry rx rz ry rxr r rrf fffffffffffffffffzFxFxFF），）'，'麦克斯韦速率分布函数 推导，'（rz ry rx rz rz ry ry rx rxv vvffffff（8）其中，也必须是与rxv，ryv，rzv无关的常数.

可以看出）（rx rxv f，）（ry ryv f，）（rz rzv f满足微分方程和前一个方程）（x xv f，）（y yv f，）（z zv f满足微分方程形式上面是完全一样的，可以预见，解的形式，归一化步长和速度分布函数也都相同，参照速度分布函数形式，我们可以直接写出归一化的相对对应于（4）的速度分布函数形式: ）（232 2 2）（）,,（rz ry rxv v vrz ry rx re vvvF（9）其中，如前所述，2是确定条件常数的其他条件的组合对于速度分布函数，这样的确定解条件很容易找到，并且可以得出理想气体分子的平均平移动能为kT23的结论，即方程式（5）. 对于相对速度分布函数，我们需要找到一个类似于公式（5）的定解条件. : mkTv vvvvvv r62）（1 2212221 22（10）在导出过程中，我们使用012vvv32221的结论. 该公式通常用于近似地讨论平均相对速度，但我们发现它与等式（5）完全对应，这可以帮助我们确定等式（9）中的未知常数

实际上，对应于等式（6），使用相对速度分布函数直接计算232rv，并比较并获得: kTm4最终的相对速度分布函数是: )（4 232 2 2）4 （11）4从讨论中很容易看出，上述推导方法也适用于两个气体分子之间的相对速度分布. 混合理想气体系统中的质量不同，在同一系统中，质量分别为1m和2m的理想气体分子的均方速度分别为1213mkTv和2223mkTv很显然，此时，归一化的相对速度分布函数两者之间仍然具有（9）的形式，但仅解条件（10）变为: 2 12 12 121 22）（3 3 3）（m mm m kTmkTmkTvvvr（12）理想气体分子36的相对速度分布的推导. 结果变为: kT 2 where，其中2 12 1m mmmthe是r产生的质量. 此时的相对速度分布函数变为: )（2 232 2 2）2（）,,（rz ry rxv v vkTrz ry rx rekTv vvF（13）当mmm21时，减小后的质量变为2m，公式（13）简化为公式（11）.

因为获得的相对速度分布与麦克斯韦速度分布完全相同，所以只有分布函数中的分子质量被两个分子的等效质量代替. 在讨论特定问题时，这将带来极大的便利. 例如，相对速度分布的最重要应用是计算平均相对速度. 该计算过程与使用麦克斯韦速度分布函数计算平均速度的过程完全相对应，这是学生众所周知的: mkTdv vvvv vF vzyx84），（02因此平均相对速度: kTdvvvvv F v v rzyxr r84），（（2m处的等效质量2 12 1m mmm2，相应地vmkTv r216）结论[3]. 5结论可以看出，推导上述相对速度分布的主要步骤与推导麦克斯韦速度分布的主要步骤相同，两者的主要区别在于确定解之间存在差异. 条件（5）和（10）或（12）确定要确定的常数在教学中，我们可以肯定地引入相对速度分布函数并将其放置在麦克斯韦速度分布相关的章节中. 推导过程可以与Maxwell spe进行比较ed分布推导过程；一些相关的应用计算，例如，平均相对速度是从计算麦克斯韦速度分布的平均速度的过程中得出的. 总体而言，它不仅不会增加教学难度，反而可以在巩固和促进麦克斯韦速度分布的教学中发挥作用. 参考文献[1]张玉明. 热研究（第二版）[M]. 北京: 科学出版社，2006. [2]赵开华，罗维银. 热学[M]. 北京: 高等教育出版社，1998. [3]李红芳. 热学[M]. 北京: 高等教育出版社，2001.

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