fft原理?fft变换如何减少计算量?快速傅里叶变换的原理?快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式

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快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式

快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式

非周期性连续时间信号x(t)的傅里叶变换可以表示为

式中计算出来的是信号x(t)的连续频谱。但是，在实际的控制系统中能够得到的是连续信号x(t)的离散采样值x(nT)。因此需要利用离散信号x(nT)来计算信号x(t)的频谱。

有限长离散信号x(n)，n=0，1，…，N-1的DFT定义为：

可以看出，DFT需要计算大约N2次乘法和N2次加法。当N较大时，这个计算量是很大的。利用WN的对称性和周期性，将N点DFT分解为两个N／2点的 DFT，这样两个N／2点DFT总的计算量只是原来的一半，即(N／2)2+(N／2)2=N2／2，这样可以继续分解下去，将N／2再分解为N／4点 DFT等。对于N=2m 点的DFT都可以分解为2点的DFT，这样其计算量可以减少为(N／2)log2N次乘法和Nlog2N次加法。图1为FFT与DFT-所需运算量与计算点数的关系曲线。由图可以明显看出FFT算法的优越性。

将x(n)分解为偶数与奇数的两个序列之和，即

x1(n)和x2(n)的长度都是N／2，x1(n)是偶数序列，x2(n)是奇数序列，则

其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N／2点DFT。由于X1(k)和X2(k)均以N／2为周期，且WN k+N/2=-WN k，所以X(k)又可表示为：

上式的运算可以用图2表示，根据其形状称之为蝶形运算。依此类推，经过m-1次分解，最后将N点DFT分解为N／2个两点DFT。图3为8点FFT的分解流程，。

FFT算法的原理是通过许多小的更加容易进行的变换去实现的变换，降低了运算要求，提高了与运算速度。FFT不是DFT的近似运算，它们完全是等效的。

关于FFT精度的说明：

如果i=24，对于任意感兴趣（N>256）的N值，单精度是不合适的；如果i=53，也就是采用双精度，则允许N大于106，相当于几百万十进制位。所以，用FFT作大数乘法时，向量数组选用双精度类型。

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