洗盘子数学模型

洗盘子问题本题目对于一池固定容积的水可以在一定的温度下洗多少个盘子建立数学 模型求解。结合盘子、水、空气这三个因素构建出对于通常状况下的数学建模， 然后将题目中的数据带入模型最后求解出所洗盘子的个数。 利用热量守恒定律求解出盘子的外传热量与冷水与盘子之间的热传导等等， 根据水的起始频率与最后温度的差异状况的湿度结合盘子平壁传热模型构建微 分方程（8.1 与 8.2），由于该方程的求解中，盘子的个数是离散的，具该问题 有离散性，最终用离散函数求解出一池热水可以洗涤盘子的个数。 管关键字：热量守恒法则、平壁传热模型、离散函数（一）问题重述餐馆一天都要洗少量的盘子，为了节约费用深圳洗盘子，某餐馆先用温水粗洗一下，再 放进热水池洗涤，水温不能太高深圳洗盘子，否则会烫手，但也不能太低，否则不干净。随 着洗涤过程的进行，池子的水慢慢冷下去，一直到难以再洗很多盘子。 请建模分析一下一池热水到底可以洗多少盘子。（二）问题假如⑴假设盘子的大小一样、质地均为瓷质菜盘，它的品质为 度为 b 和导热系数λ （W/(m·K)）。 ⑵假设每池热水的品质是 时的湿度是 =40° （常量） ，池内初始浓度为 =60°，最终换水 ，表面积为 S、厚⑶假设空气的浓度是?a =20° ?a ；⑷假设每洗一只小碗，将其放在水中后，通过时间 t’均可以清理干净，完成洗涤 （洗涤时间为常量） ； ⑸假设每只盘子的初始浓度与空气温度相等，即为⑹假设人的手与洗涤工具也不参与热交换，热水不与空气出现热交换（即不影响 水的温度改变） ⑺假设洗涤净的洗涤效果与油腻程度无关； （三）符号定义与表明 ⑴盘子的个数n=0.5 ㎏（已知）⑵每个盘子的质量 ⑶池内热水的质量 ⑷空气温度?a⑸洗第 i 盘子、时间为 t i 时池中水的温度 TW(ti) ⑹水的初始温度 ⑺水的最终温度 ⑻盘子的表面积 =60℃ <=40°s/ λ⑼热传导的交换系数 b ⑽盘子的比热容 ⑾水的比热容（四）模型的构建、求解与检验 “洗盘子” 问题中洗盘子的总量主要由池内水的湿度决定，利用热量守恒定 律，其中质量为 M 的物体所含的热量是 Q=CMT(C 为组成物体材料的特点参数，T 为质点的热力学温度)，因此可以在某一时刻完善如下模型： 若将洗盘子的过程想象为把一只盘子放入水中， 使其温度从 那么针对 瞬间增至 ，Δ ti 中的其余时间，可以不必考虑水向盘子的热转化，以简化模型。

可以得到如下模型一：CpMpTa + CwMwTw(0) = CpMpTw(t)+ CwMwTw(t)（不考虑盘子，仅考虑水的自由冷却） 若考虑到随着温度的不断下降，洗盘子的时间会越来越长。故将盘子的热传 导能量加入到模型一中，得到如下模型二：CpMpTa + CwMwTw(0) = CpMpTw(ti)+ CwMwTw(ti)+ Q考虑到盘子的热传导能量，设 Q 为盘子平壁的热传导能量，平壁热传导模 型公式为 Q= (TW(ti) - TW(ti - 1))* S / (b / λ)若将 TW(ti) 看成连续变量，则针对水的逐步冷却，由以下方程得到微分方 程CPMP dT = -(TW(ti)-TW(ti - 1))* S / (b / λ)Δti dt当 t 是从初始状态 t =0 开始计时的时间，可以解得 TW(ti) 。若用离散函数 TW(ti) 来表述 i 表示从初始状况开始计的时段 t i 的数量。 就这个难题而言，本身就具备“离散性”，需逐个洗盘子，第 i 个盘子花费一段 时间 Δ ti ，因此，最好选择离散化的表述方式。 对于建模二求解的症结在于盘子热传导的热量 Q。

关于数的数量级比较，我 们对盘子热传导热量进行数量级比较。用上面所给数据，计算得Q = (TW(ti) - TW(ti - 1))* S / (b / λ)Δti = 3054]把Q 理得= (TW(ti) - TW(ti - 1))* S / (b / λ)Δti = 0 代入函数，整。CpMpTa + CwMwTw(0) = CpMpTw(ti)+ CwMwTw(ti)+ Q代入数据并令Δti = 10s （得即它的解为式中：，解得,最后的数学模型是令解出 n 的值，令根据以下的剖析与求解得出可以洗的盘子个数为 117 个 （五）模型的评价 该模型也是按照热量守恒法则，通过对热量散失的剖析进行了模型预测，通 过考虑盘子的外传热量与盘子热传导热量之类的预测， 运用恰当的方式构建模型进行求解，从而受到非常合理的结果。 但鉴于该模型的条件的限制， 我们没有考虑盘子的大小和颜色或者不同的质 地材料， 空气与水之间的热交换等等状况，因此我们可以在此模型的基础上进行 改善，使模型非常规范。作业二：求和的不等式问题① ② ③ ④ S=10,N 最小为多少？ S=20,N 最小为多少？ S=30,N 最小为多少？ S=50,N 最小为多少？C 语言程序代码： #include <stdio.h> int main () { int i, sum, s; scanf("%d",&s); i=1; sum=0; while(sum<s) { sum=sum+1/i; i++; } i=i-1; printf("%d\n",i); }

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