蝶形运算k的取值_怎么判断k的取值范围_蝶形运算流图(2)

最后对2点DFT进一步分解得到最终的8点FFT信号计算流图：

图4 8点DFT的全分解

从图2到图4的过程中关于旋转系数的变化规律需要说明一下。看起来似乎向前推一级，在奇数分组部分的旋转系数因子增量似乎就要变大，其实不是这样。事实上奇数分组部分的旋转因子指数每次增量固定为1，只是因为每向前推进一次，该分组序列的数据个数变少了，为了统一使用以原数据N为基的旋转因子就进行了变换导致的。每一次分组奇数部分的系数WN,这里的N均为本次分组前的序列点数。以上边的8点DFT为例，第一次分组N=8,第二次分组N为4，为了统一根据式(4)进行了变换将N变为了8，但指数相应的需要乘以2。

从图4可以看到N点DFT的FFT变换可以转为log2(N)级级联的蝶形运算，每一级均包含有N/2次蝶形计算。而每一个蝶形运算包含了1次复数乘法，2次复数加法。因此N点FFT计算的总计算量为：复数乘法——N/2×log2(N) 复数加法——N×log2(N)。假设被采样的序列为实数序列，那么也只有第一级的计算为实数与复数的混合计算，经过一次迭代后来的计算均变为复数计算，在这一点上和直接的DFT计算不一致。蝶形运算k的取值因此对于输入序列是复数还是实数对FFT算法的效率影响较小。一次复数乘法包含了4次实数乘法，2次实数加法，一次复数加法包含了2次复数加法。因此对于N点的FFT计算需要总共的实数乘法数量为：2×N×log2(N)；总的复数加法次数为：2xNxlog2(N)。

从图4我们可以总结出对于点数为N=2^L的DFT快速计算方法的流程：

1.对于输入数据序列进行倒位序变换。

该变换的目的是使输出能够得到X(0)~X(N-1)的顺序序列，同样以8点DFT为例，该变换将顺序输入序列x(0)~x(7)变为如图4的x(0),x(4),x(2),x(6),x(1),x(5),x(3),x(7)序列。其实现方法是：假设顺序输入序列一次村在A(0)~A(N-1)的数组元素中，首先我们将数组下标进行二进制化(例：对于点数为8的序列只需要LOG2(8) = 3位二进制序列表示，序号6就表示为110)。二进制化以后就是将二进制序列进行倒位，倒位的过程就是将原序列从右到左书写一次构成新的序列，例如序号为6的二进制表示为110，倒位后变为了011，即使十进制的3。第三步就是将倒位前和倒位后的序号对应的数据互换。依然以序号6为例，其互换过程如下：

temp = A(6); A(6) = A(3); A(3) = A(6);

实际上考虑到执行效率，如果对于每一次输入的数据都需要这个处理过程是非常浪费时间的。我们可以采用指向指针的指针来实现该过程，或者是采用指针数组来实现该过程。

2.蝶形运算的循环结构。

从图4中我们可以看到对于点数为N = 2^L的fft运算，可以分解为L阶蝶形图级联，每一阶蝶形图内又分为M个蝶形组，每个蝶形组内包含K个蝶形。根据这一点我们就可以构造三阶循环来实现蝶形运算。编程过程需要注意旋转因子与蝶形阶数和蝶形分组内的蝶形个数存在关联。

3.浮点到定点转换需要注意的关键问题

上边的分析都是基于浮点运算来得到的结论，事实上大多数嵌入式系统对浮点运算支持甚微，因此在嵌入式系统中进行离散傅里叶变换一般都应该采用定点方式。对于简单的DFT运算从浮点到定点显得非常容易。根据式(1)，假设输入x(n)是经过AD采样的数字序列，AD位数为12位，则输入信号范围为0~4096。为了进行定点运算我们将旋转因子实部虚部同时扩大2^12倍，取整数部分代表旋转因子。之后，我们可以按照(1)式计算，得到的结果与原结果成比例关系，新的结果比原结果的2^12倍。但是，对于使用蝶形运算的fft我们不能采用这种简单的放大旋转因子转为整数计算的方式。因为fft是一个非对称迭代过程，假设我们对旋转因子进行了放大，根据蝶形流图我们可以发现其最终的结果是，不同的输入被放大了不同的倍数，对于第一个输入x(0)永远也不会放大。举一个更加形象的例子，还是以图4为例。从图中可以看出右侧的X(0)可以直接用下式表示：

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