split-bregman_strsplit函数r语言_matlab splitmerge(2)

可以看出：

· 第一次迭代，

u1=argmin(u) { D(u, 0) + H(u) }， 其中D(u, 0)=J(u) - J(0) - <0, u>=J(u)

· 再经过多次的迭代，

就能够收敛到真实的最优解。

对于具体的问题:

例如对于压缩感知使用的基追踪算法，J是L1范数；

而对于图像去噪问题，可能就是u的梯度L1范数，同时A也变成了恒等算子了。

Bregman算法对于基追踪问题来说是一种很好的工具。split-bregman但是，算法中的每一步都要求解公式的最小值，从而使得计算复杂度非常高。

因此提出了——

首先，利用矩阵的泰勒公式，将公式

中的 H(u) 线性展开，得到：

但是这种近似展开只有在u和uk十分接近的时候上式才准确。因此，把泰勒公式中的二次项加上，则原来的问题就变成了：

可以看到，二次项可以使 u 和 uk 很靠近。

为什么这里的二次项是L2范数的平方？

答：因为向量的平方就是L2范数的平方。。

？？？二阶导数不见了？？？？

又因为：

注意和是关于 u 的常数。

所以，

考虑基追踪算法，令 H(u) =

得到：

考虑该式的一个特殊情况，。并将pk回代，得到：

C是一个常量，与uk有关的常量。split-bregmanuk也是一个常量。

分3种情况来考虑 u，则

进一步整理，得到：

定义shrink算子，当a>0时，有：

参考书：《Bregman算法》

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