数学函数的递归函数

我们知道，在编程领域，我们将遇到对函数的递归调用. 同时，有时我们有时可以将递归调用转换为非递归调用. 转换为非递归调用的目的可以减少堆栈. 分配内存以减少内存溢出的问题，那么在数学的一般领域中，我们也有一些递归调用，例如模拟电路中的反馈电路和混沌理论，再次使用一定的计算结果作为计算输入. 因此，对函数递归的研究具有现实意义.

一些常见的周期函数

在研究函数递归之前，让我们首先研究一些常见的周期函数，例如y = sin（PI / 2 + 2 * x * PI），y =（-1）^ x，y = 1 ^ xy = x ^ 0，y = 0 * x. 我们只研究x是整数的情况.

对于y = 0 * x，我们可以知道对于任何整数x∈Z y = 0，该函数的周期为1，因为我们可以得出对于任何整数x∈Z y等于常数的:

（1）y = A + 0 * x;

对于两个函数y = 1 ^ x和y = x ^ 0，我们知道对于任何整数x∈Z，我们总是得到y = 1，并且函数的周期为1，因此我们可以得出对于任何整数x∈Z，y等于常数A的函数:

（2）y = A * 1 ^ x

（3）y = A * x ^ 0

（4）y = A-1 + 1 ^ x

（5）y = A-1 + x ^ 0

对于y =（-1）^ x和y = sin（PI / 2-2 * x * PI），对于任何x∈Z，当x为奇数时，y = -1，当x为偶数时，y = 1，函数的周期为2递归 2次调用，因此我们可以得出对于任何整数x∈Z，当x为奇数时，y的值等于常数A，当x为偶数时，的值y是B函数.

为此，我们可以定义一个线性函数y = ax + b. 并假设当x = -1时y = A，当x = 1时y = B. 则此线性函数的解析公式为:

y =（B-A）/ 2 * x +（B + A）/ 2其中a =（B-A）/ 2，b =（B + A）/ 2

因为我们规定x只能为-1，而1则我们将y =（-1）^ x和y = sin（PI / 2-2 * x * PI）替换为:

（6）y =（B-A）/ 2 *（-1）^ x +（B + A）/ 2

（7）y =（B-A）/ 2 * sin（PI / 2-2 * x * PI）+（B + A）/ 2

并继续找到y = f（x）当x是某个部分时，y等于一个固定值，即，找到一个周期为n的函数，这部分也是最困难的，因为递归地解决函数n次循环很有帮助.

也就是说，在某种程度上，它可以找到一个周期为n的函数，这是一个通用表达式函数，它对n个递归循环的函数执行非递归表达式.

函数递归

假定存在一个函数y =⨍（x），则y的范围是x的域的子集. 假设当x = x0时，存在y0 =⨍（x0），当我们将y0作为自变量并将其代入⨍（x）以获得y1 =⨍（y0）时，则y1也可以表示为: p >

y1 =⨍（⨍（x0））

我们将2个函数调用后x0获得的值称为y1. 同时，我们将g（x）=⨍（⨍（x））称为函数⨍（x）的二次递归函数. 我们可以定义如下:

定义⨍n（x）为n次递归后⨍（x）所获得的函数，称为n次递归函数，其中n> = 1，我们规定1（x）=⨍（x ）<

然后，我们接下来将面临几个问题. 是否有函数具有n次递归函数？如果存在n次递归函数，是否可以使用非递归函数来描述此递归函数？在m个递归之后，函数的值是否等于原始参数？函数的逆函数与递归函数之间是什么关系？

以上问题希望志同道合的学生一起讨论和学习.

让函数y =⨍（x）是递归函数⨍n（x）的n倍，如果存在函数g（n，x），则⨍n（x）= g（n，x）那么我们将g（n，x）称为⨍n（x）的非递归表达式. 可以看出，递归函数的非递归表达式主要可以将递归数作为某个函数g的系数，从而简化了递归函数的计算方法.

对于某些基本函数，我们可以轻松地获得函数的n次递归函数的非递归表达式，例如:

y = a * x + b的n次递归函数为y = a ^ n * x + b * ∑ a ^ i（其中i = 0至n-1）

y = x ^ a的n次递归函数是y = x ^（a ^ n）

y = 1 / x的n次递归函数为y =（（x ^ 2-1）*（-1）^ n + x ^ 2 +1）/ 2 * x（此公式不是简单，推导过程将在后面给出，请参考公式（8））

y =（x +1）/（x-1）n次递归函数为y =（（-1）^（n + 1）+ 2x +1）/（（2-x）*（ -1）^ n + x）（此公式表示（8））

还有一些功能，例如

y = sin（x），那么我们就无法使用可定义的非递归函数来表示其n次递归函数（真的不是吗？还需要研究），暂时只能由枚举方法:

y =罪（sin（sin（.......（x）....）））

复合函数的递归函数

上面描述了普通函数的递归函数，那么如何找到某些复合函数的递归函数呢？

让y =⨍（u），u = g（x），则x是自变量y是因变量. 复合函数表示为y =⨍（g（x）），那么如何找到复合函数y递归函数呢？

由于y =⨍（g（x）），因此将y更改为自变量后第二次递归的表达式为:

y2 =⨍（g（y）），y =⨍（g（x）），因此代入y2 =⨍（g（⨍（g（x））））. 打个比方

yn =⨍（g（⨍（g（⨍（g（⨍（g（...（（[x（x）...）））））））））

n

函数的递归周期

假设函数⨍（x）是n次递归函数⨍n（x），则当n = M1，M2，Mk时，存在⨍Mi（x）= x，其中（i = 1至k）最小Mi是该函数的递归周期，称为M.

下一个问题是如何确定某个n次递归函数是否具有递归周期递归 2次调用，以及如何计算递归周期. 这也是研究的主题.

2次递归周期函数

如果一个函数的递归周期为2，则该函数称为2级递归周期函数. 当n为奇数时，第二个递归周期函数实际上为y = f（x），当n为n时，y = x甚至递归周期如下:

f1（x）= f（x），f2（x）= x，f3（x）= f（x），f4（x）= x，f5（x）= f（x），... ..

如何导出2级递归周期函数的表达式.

然后我们从上述函数中两次分析了递归周期函数，发现当n为奇数时，fn（x）= f（x），而当n为偶数时，fn（x）= x，因此我们可以使用以前从公式（6）导出的二阶递归周期函数的非递归函数为:

（8）fn（x）=（x-f（x））/ 2 *（-1）^ n +（x + f（x））/ 2

完整的递归函数

我们知道，如果函数y = f（x），则该函数的反函数表示为x = f-1（y）. 如果我们再次递归这个反函数

. .

因为我们定义如下:

如果函数y = f（x）具有n次递归函数fn（x），并且当n = 0时具有f0（x）= x，而n次反向递归函数为gn（x）函数

fn（x）n> = 1

kn（x）= {x n = 0

gn（x）n <0

是f（x）的完全递归函数.

如果函数的n次递归函数fn（x）在n = 0时具有f0（x）= x；并且当n <0时fn（x）= gn（x）时，我们称fn（x）是完全递归函数的唯一函数，而这个完全递归函数被称为唯一的完全递归函数.

请注意，并非所有函数的所有n次递归函数都是完全递归函数.

y = a * x的n次递归函数为y = a ^ n * x，而完整的递归函数为y = a ^ n * x

y =（x +1）/（x-1）n次递归函数为y =（（-1）^（n + 1）+ 2x +1）/（（2-x）*（ -1）^ n + x）完整的递归函数为y =（（-1）^（n + 1）+ 2x +1）/（（2-x）*（-1）^ n + x）

y = 1 / xn递归函数为y =（（x ^ 2-1）*（-1）^ n + x ^ 2 +1）/ 2 * x完整的递归函数为y =（（x ^ 2-1）*（-1）^ n + x ^ 2 +1）/ 2 * x

y = x ^ a n次递归函数为y = x ^（a ^ n）完整的递归函数为y = x ^（a ^ n）

y = a * x + b n乘以递归函数为y = a ^ n * x + b * ∑a ^（i-1）（i = 1至n），则完整的递归函数为:

a ^ n * x + b * ∑a ^（i-1）（i = 1至n）n> = 1

y = {x n = 0

a ^ n * x-b * ∑a ^ i（i = -1至-n）n <0

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