“通用物理课程热学（第三版）”§2.3麦克斯韦速率分布. ppt

§2.3麦克斯韦速率分布气体分子的热运动的特征是: 大量分子的不规则运动以及它们之间频繁的碰撞；分子以各种不同大小的速率向各个方向移动；在频繁的碰撞中，动量和能量在分子之间不断交换，因此每个分子的速度不断变化. 在处于平衡状态的气体中，尽管每个分子的速度和方向在某个瞬间随机变化，但是大多数分子之间存在统计相关性. 该统计相关性表示为平均气体. 分子速度（指速度的大小）介于v和v + dv之间（即速度分布函数）的概率不会改变. §2.3.1分子束实验最早的德国物理学家Sterm于1920年进行了分子束实验，以确定分子束中的分子速度分布曲线. 现在介绍Langmuir的实验，只要您调整不同的旋转角速度，就可以从分子束中选择不同速度的分子. 凹槽具有一定的宽度，并且所选择的不是精确的一定速度，而是一定速度范围Δv内的分子数目. 接收屏幕测量每单位时间ΔN渗透的分子数. 实验装置测量分子速度从零到无穷大的分布. 这类似于目标板上黑点的分布. 以ΔN/NΔv为纵坐标（其中N为单位时间内通过第一张圆盘上凹槽的分子总数），分子速度v为水平. 如图所示怎么证明对于麦克斯韦速率分布最概然速率，用坐标绘制曲线.

Δv→0是称为分子束速度分布概率密度函数的平滑曲线. 从v到v + dv的速度范围内的细长条的面积表示分子速度在从v到v + dv的范围内的概率§2.3.2麦克斯韦速度分布（1）气体的速度分布分子与分子束中的分子不同分子的速度分布. 真空加热炉（分子源）中的金属蒸气（理想气体）的分子速度分布f（v）dv与F（v）dv不同. f（v）dv表示加热炉中气体的分子速度与v和v + dv之间的比，分子数dN和分子总数N的比值. 分子中分子源中气体分子的平均速度平衡状态为零. 平均而言，每个分子不会改变空间位置，因此f（v）dv是“静态”速度分布. 但是，分子束中的分子都以恒定速度运动，这表明F（v）dv是一种“动态”分布. 其次，麦克斯韦速率分布最早可追溯到1859年. 英国物理学家麦克斯韦在三个平衡态中使用了理想的理想气体分子. 假设每个方向上的独立运动导致麦克斯韦速度的发布，其表达式如下: 分布曲线为如下图所示. 计算积分时，可以使用附录2-1中的积分公式. 关于麦克斯韦分布的三点解释如下: （1）麦克斯韦分布适用于处于平衡状态的气体. 在平衡状态下，气体分子密度n和气体温度具有确定的值，因此速率分布也是确定的. （2）它仅是分子量和气体温度的函数. 图中显示了分子量或温度变化趋势的分布曲线.

概率密度取最大值的速率称为最可能速率（也称为最可能速率），用vp表示. （4）我们只需要记住麦克斯韦速率分布的函数形式是（5）另外，由于e指数的维数是1，而mv2 / 2是与kT的尺寸相同. 此外，当v ??时，f（v）应趋于零，表明e的指数应为负. 可以看出，e的指数因子也要记住，除指数因子外，还有幂函数因子v2，微分元素dv和归一化系数A. 由于整个e索引的维数均为1，因此v2dv是v的三次维，概率分布的维也为1，可以看出系数A为1 / v 3维. v2的尺寸与2kT / m的尺寸相同，因此A的系数应为（m / 2kT）3/2. 可以通过上述尺寸分析方法来写Max分布. 4.理想气体分子的平均速度，均方根速度和最可能的速度（1）平均速度（2）均方根速度完全相同. （3）最可能的比率vp因为比率分布函数是连续函数，所以如果需要极值，则可以使用极值条件. 从上面的等式可以看出，m越小或T越大，vp越大. 在两个麦克斯韦速率分布曲线上绘制. 最可能的速率vP1> vp2. （4）在§1.6理想气体分子碰撞数和理想气体压力公式证明中使用了三种速度的比率. 近似条件麦克斯韦速度分布示例[示例2.1]尝试找到标准条件下氮和氢分子的平均值.

[解决方案]（1）氮分子的平均速度* *显然，分子束中可以通过第一凹槽的分子通常不能通过第二凹槽，除非其速度v满足以下关系. 长条的面积表示每单位时间发射的分子束的分子速度在速度范围（ΔN/NΔv）Δvv内的概率，其中Δv= 10 m·s-1. 这称为分子束速度分布曲线. 它的纵坐标表示粒子通量中的速度分布（指每单位时间渗透的分子束中的分子数）. 但是f（v）dv和F（v）dv之间存在一定的关系，因此可以使用实验测量的分子束速度分布图获得理想的气体速度分布. 其中k是玻尔兹曼常数. 图左侧带有斜线的长而窄的区域表示V和v + dv之间的分子数与分子总数的比，即麦克斯韦速率分布. 然后让？ = M / 2kT，这意味着Maxwell的速率分布已归一化. （3）因为v2是一个递增函数，所以exp（-mv2 / 2kT）是一个递减函数，并且递增函数乘以递减函数. 该函数将取某个特定值的极值，并且可以通过归一化获得系数. 通过附录2-1中的公式获得的结果与三个结果之差不超过23％，并且均方根最大. 右图示意性地显示了麦克斯韦速率分布中三个速率的相对大小. 偏差仅为8.5％. 但是怎么证明对于麦克斯韦速率分布最概然速率，通过这种近似，它的数学处理要简单得多. （2）氢分子的平均速度以上计算表明，除了氢和氦等非常轻的元素外，其他气体的平均速度通常在几百米的数量级上.

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