气体分子的速度分布

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初步知识多元分布函数

当我们描述大量气体分子的运动时，在某个时刻，我们可以使用速度分布函数$ f（v_x，v_y，v_z）$来描述气体分子的速度分布，或者使用矢量符号为$ f（\ boldsymbol {\ mathbf {v}}）$，也可以在球形坐标中表示为$ f（v，v_ \ theta，v_ \ phi）$.

以下内容考虑了各向同性速度细分，即$ f（v，v_ \ theta，v_ \ phi）$与方向$ v_ \ theta，v_ \ phi $无关，可以缩写为$ f（v）$. 另外气体分子速率，以下将分子视为粒子，不考虑其内部运动，如旋转和振动.

让我们考虑分子的平均动能和各个方向上的平均动能之间的关系. 由于经典力学中的动能为$ E_k = mv ^ 2/2 $气体分子速率，因此我们只需要计算分子速度平方的平均值（以及每个分量的速度）即可.

让$ v_i $是速度分量$ v_x，v_y，v_z $之一，是

\ begin {equation} \ left \ langle v_i ^ 2 \ right \ rangle = \ int v_i ^ 2 f（v_x，v_y，v_z）\，\ mathrm {d} {v_x} \，\ mathrm {d} {v_y} \，\ mathrm {d} {v_z} \ end {equation}

因为速度分布是各向同性的，所以

\ begin {equation} \ left \ langle v_x ^ 2 \ right \ rangle = \ left \ langle v_y ^ 2 \ right \ rangle = \ left \ langle v_z ^ 2 \ right \ rangle \ end {equation}

速度模量长度的平方的分布是

\ begin {equation} \ begin {aligned} \ left \ langle v ^ 2 \ right \ rangle＆= \ int（v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2）f（v_x，v_y，v_z）\ ，\ mathrm {d} {v_x} \，\ mathrm {d} {v_y} \，\ mathrm {d} {v_z} \\＆= \ sum_ {i = x，y，z} \ int v_i ^ 2 f （v_x，v_y，v_z）\，\ mathrm {d} {v_x} \，\ mathrm {d} {v_y} \，\ mathrm {d} {v_z} \\＆= \ sum_ {i = x，y， z} \ left \ langle v_i ^ 2 \ right \ rangle = \ frac {1} {3} \ left \ langle v_i ^ 2 \ right \ rangle \ end {aligned} \ end {equation}

这意味着分子的平均动能和组分之间的平均动能满足

\ begin {equation} \ bar E_ {kx} = \ bar E_ {ky} = \ bar E_ {kz} = \ frac {1} {3} \ bar E_k \ end {equation}

这等效于将平均平均动能分成三个方向，因此称为能量共享定理.

如果速度模量（向量）$ v = \ left \ lvert \ boldsymbol {\ mathbf {v}} \ right \ rvert $称为速率，则比喻，速率的分布函数为

\ begin {equation} F（v）= 4 \ pi v ^ 2 f（v）\ end {equation}

如果气体分子的数量为$ N $，则随机分子速度的绝对值落在$ [v_a，v_b] $范围内的概率为（模拟）

\ begin {equation} P_ {ab} = \ int_a ^ b F（v）\，\ mathrm {d} {v} = \ int_a ^ b 4 \ pi v ^ 2 f（v）\，\ mathrm {d} {v} \ end {equation}

大约，在此间隔内的分子数为

\ begin {equation} N_ {ab} = P_ {ab} N \ end {equation}

（未完成）

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