大学物理04麦克斯韦率分布定律

气体中单个分子速度的值和方向完全是偶然的，但就分子的整体质量而言，在一定条件下，气体分子的速度分布也遵循一定统计定律. 该定律也称为麦克斯韦率分布定律. 1.速率分布函数基于统计假设，即存在各种速率的分子. 一定比率范围内的分子占分子总数的百分比可用于表达根据比率的分子分布规律. 1.将比率从0除以许多相等的比率间隔. 例如，速率间隔为100m / s，整个速率分为0-100； 100-200； ...和其他间隔. 2.分子总数为N，vvv区间中的分子数为N. vvv区间中N的概率为N. Page 1 of 13 i / N12. 分子总数为N，vvv区间中的分子数为N. 在vvv区间中N的概率为N i / N，您可以了解分子的分布速率. 3.概率N i / N与v相关，并且在v. v附近概率不同. 相关，大速率间隔的概率较大. 4. v dv速率间隔很小，此间隔中的分子数为dN，在此速率范围内N v个分子的概率dN dv No v第13个v2页被写为方程dN f（v） dv N表示在vv dv间隔中分布的分子数与分子总数f（v）dN Ndv的比率（或百分比）速率分布函数速率分布函数的物理含义: 指示出现的分子在速率v概率附近的单位速率区间中麦克斯韦速率分布律的推导与验证，或者在单位速率范围内的分子百分比占总分子的百分比.

vv dv区间中的分子数为dN Nf（v）在v1 v2有限区间中dv的概率为N Nv2 v1f（v）dv. 因为所有分子在0到0的整个速率范围内都是100％分布的，所以取v1 0，v2，有: f（v）dv0N dN 1 0N Page 3 of 13归一化条件3种情况: 尝试解释以下类型. （1）f（v）dv； （2）Nf（v）dv； （3）v2 f（v）dv； （4）v2 Nf（v）dv答案: 从速率分布函数，我们可以知道v1f（v）dNv1（1）f（v）dv dNNdvN表示分子出现在速率v附近的dv速率区间中的概率. （2）Nf（v）dv dN表示速率v附近的dv速率区间中的分子数. （3）v2 v1f（v）dv NN表示分子出现在速率v1〜v2范围内的概率. （4）v2 v1Nf（v）dv N表示比率范围v1〜v2中的分子数. 第4页，共13页4 2.麦克斯韦速度分布定律麦克斯韦在1860年推导了理想气体的速度分布定律. 1.麦克斯韦速率分布定律的内容在平衡状态下，当可以忽略气体分子之间的相互作用时麦克斯韦速率分布律的推导与验证，在任何比率范围v〜v + dv中分布的分子数与分子总数的比为: 3dNv 4 m 2 emv2 2kT v2dvN 2kT麦克斯韦率分布函数3 fv 4 m 2 emv2 2kT v2 2kT第5页，共13页: 1. f（v）〜v曲线v0ʱf（v）0vʱf（v）03 fv 4 m 2 emv2 2kT v2 2kT 2.出现在dv速率区间3f（v）dN Ndvf（ v）dv dN 4 m 2 emv2 2kT v2dv N 2kT 3. f（v）〜v曲线下的面积f（v）是分子出现在该速率区间内的概率: f（v）vvNvf（v）dv No v dv第6页，共13 v vv64. f（v）〜v的整个曲线下的面积为1 -----归一化条件.

dNf（v）0f（v）dv dv0 Ndv1 N0NdNN在整个速率区间中出现N1ov分子的概率为1. 5.最可能速率vPf（v）的物理含义: 如果将整个速率范围除以分成许多相等的单元，在vP所在的区间中分布的分子数之比最大. o vp 13的第7页v7取f（v）推导v，因此一阶导数为0，df（v）0 f（v）4 m3 / 2emv2 2kTv2dv 2kT emv 2 / 2kT 2v v e2 mv 2 / 2kT m 2v 01 mv 2 0 2kT f（v）2kT最可能的速率: vp由kR N0和M mol2kT m N0mo vpvvp 2kT m2RT 2RT 1.41 RTmN 0M mol Page 8 of 13讨论M mol8: 1）vP与温度T的关系曲线T vp f（v）T1vp 2kT mT2T2 T1的峰值向右移动. 由于曲线下的面积为1，并且ov p1f（v）v p2v相同，因此峰值减小. 2）vP与分子量m m2 m1m的关系vp m2 m1曲线的峰值向左移动. 由于曲线下的面积不变，因此峰值增加. v v第9页（共13页）p第2页p1v92. 麦克斯韦速率分布定律的应用麦克斯韦速率分布率可以用来计算物理量，例如均方根速率和平均速率.

1. 平均速度v气体分子以各种速率存在，那么平均速度是多少？假设: 存在速率为v1的N 1个分子和速率为v2的N 2个分子. 平均速率为: v N1v1 N2v2 NN vNnNiviNi1 N Nv 1vdN NdNf（v）dv v vf（v）dvN0第10页，共13页10 v 0vf（v）dv 04m2kT3 / 2emv 2 2 kTv3dv使用积分公式0x n eax dxn ！一个1得到: v 8kT N0的上下乘法是: m平均速率v 8RT 1.59RTv2 g（v）f（v）dv g（v）v1 v2 f（v）dv v1M molM mol计算公式与速率相关的物理量g（v）的统计平均值: g（v）0g（v）f（v）dv计算分子的均方根速度，分子的平均平移动能等. 第11页，共13 113.均方根速率v 2使用均方根速率，可以计算分子的平均平移动能. 使用公式计算统计平均值: g（v）0g（v）f（v）dvv 2 0 v 2 f（v）dv使用广义积分公式0x2n eax 2 dx135（2n 2n 1 a n1）av2 3kTm根均方根速率v2 3kT 3RT 1.73 RTmM molM mol与先前温度公式中描述的均方根速率相同. 第12页，共13页124.三种速度的比较f（v）vo vp v v2三种速度统计数据有不同的应用: 在讨论速度分布时，使用最可能的速度. 计算分子运动时计算平均距离时，使用平均速度. 在计算分子的平均平移动能时，使用均方根速度. 第13页，共13页13

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