麦克斯韦的分子速度分布定律

11§7-5麦克斯韦的分子速度分布定律要点: 麦克斯韦的气体分子速度分布定律，三个统计速率•N个理想气体分子，当气体在温度T ,,, =时处于平衡状态时，Nnp TV宏具有确定值的微观: 每个分子连续运动且频繁碰撞，v不断变化，随机运动的分子的平均平移动能为: 2213322rmskTmvkTvvm ==→=给定气体的分子均方根速度，当其T为恒定，它也是恒定的. rmsv12•表明: 从大量分子的角度来看，在某些条件下，气体在热平衡状态下的速度遵循一定的统计分布规律. 麦克斯韦（Maxwell）1859年按速率分布的气体分子的统计定律概率论玻尔兹曼（Boltzmann）1877年经典统计力学1920史建恩（O. Stern，1888-1969年）1934年中国物理学家葛正权实验实验•各种尺寸的气体分子粒子的速度在各个方向. 由于这种碰撞，每个分子的速度和方向不断变化. •研究特定分子在特定时刻的速度和方向完全是偶然的. 13.用于测量气体分子速度分布的实验圆盘B和C: 速率选择器实验表明，当圆盘以不同的角速度旋转时，可以从屏幕上测量每次沉积的金属层的厚度. 沉积物的厚度对应于不同速率间隔中的分子数目之比. 比较这些厚度的比率，我们可以知道不同速率间隔下的分子数与分子射线中的分子总数之比（概率）.

实验表明，在相同的实验条件下，以给定的速率间隔分布的分子的相对数目是完全确定的. 14 2.麦克斯韦气体分子速度分布定律1.速度分布函数〜为了定量描述根据速度的气体分子分布定律，引入了速度分布函数的概念. 在平衡状态下，一定量的气体的分子总数为N，其中v〜v + dv范围内的分子数量为dNdN / N为N个气体分子，且其比率范围为v 〜v +接近速率v. dv中的分子数dN与分子总数N的比率也表示在速率v〜v + dv的区间内的分子概率. 说明: ①在不同的v周围取等间隔dv，其值不同； dN的一般NdN与v有关，它与v的某个函数成比例. N15②在给定v附近，如果dv增加，则在此间隔中分布的dN分子dN和dN的数目也会增加. 如果dv足够小，则可以随时考虑. NdvN∝d（）f v dvNN =简而言之: dNdv（）f vN =〜速率分布函数〜在速率v附近的单位速率区间内分布的分子数与分子总数之比. 对于处于特定温度的气体，它仅是速度v的函数. 其物理含义: 气体分子在速度v附近的单位速度间隔的概率，也称为概率密度. 任何有限速率区间的分子数与分子总数的比: 21（）fv dvvvNN∆ =∫16∵所有分子N均以0〜∞的速率分布，120，，vvNN ==∞ Δ=即上述公式在公式中，令∞∴∫0（）fv dv1 =〜速率分布函数的归一化条件: P267问题7-72. 麦克斯韦气体分子速度分布规律〜1859年，麦克斯韦首先从理论上推导了23222d（）fv dv4（π）d2πmvkTNNmevvkT-==在平衡状态下，分子之间的相互作用力可忽略不计，并且在任何速率范围v〜v +中分布的分子比例dv是: 1722232）2π（4πddN）（vekTmvNvfkTmv-===面积= dNv / N式中: T是气体的温度，m是分子质量，k是玻尔兹曼常数〜麦克斯韦速率分布定律.

（）fvv表示速率间隔在此速率间隔内的概率. 相对分子数或子图线，图中矩形区域vvdv +pv（）f vvvvdd +（）pf v0•曲线下的总面积表示从零到无穷大的速度分布中相对分子的总数麦克斯韦气体分子速度分布定律之和是气体动力学理论的基本定律之一. 18三，三统计速率1）最可能的速率f vpv let d（）f v0dv = 2221.41ApAkN TkTRTRTvmmNMM ===≈Ovf（v）vp，该速率称为最可能的速率麦克斯韦速率分布原理，也称为最可能的速率. （）v（）fv对应于关系曲线中最大值的物理含义是: 如果将气体分子的速度分为多个相等的速度区间，则气体将以最可能的单位分布在一定温度下的速度速率间隔中相对分子的数量最大. 即，分子在附近分布的可能性最大. pvpvpv192）平均速率v在公式中: Ni（i = 1，2，3 ...）的速率为vi（i = 1，2，3 ...）〜一定量气体的分子数为N，则为所有分子速率的算术平均值. N vN vNvvNNN ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅112 212i ii ii iiiiiiiivNvNvNN ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=== ∑∑∑用dN表示数字中的气体分子速度，然后vdNvNmα=区间中的分子vv dv +233002200（）（）fv vdv4（π）2π2xmvkTvNfv dvmevdvNkT∞∞-∞∞====∫∫∫让2kT使用积分公式: 32012αexdxα−∞ =∫11 02333222014（π）4（ π）2πkT2π2αvmmvevdvkTk-∞==∫8π8π1.60RTRTvmMM∴==≈〜大量气体分子的速度平方的平均值的平方根.

3）均方根值: 2rmsvv = 2223224002200（）（）fvv dv4（π）2πmvkTvdNv Nf v dvmvevdvNNkT∞∞-∞∞=====∫∫∫∫2331.73rmskTRTRTvvmMM∴===≈111〜和平均值平移动能与温度之间的关系相同. 结论: ①气体的三个速度成反比；2213322ktrmskTmvkTvvmε====→结论: 与TmM②2pvvv>> Ovf（v）vpv2v成正比，并且（或）TmM②2pvvv>> Ovf（v）vpv2v讨论分布计算碰撞计算平移动能〜以上三个比率具有统计意义，均反映了大量分子在热运动中的统计规律. ∫0∞= d）（）（）（vvfvgvg112①m是常数，↑=↑mkTvTp2分布曲线随m和T而变化. 讨论曲线峰向右移动，总面积保持不变，曲线变得平坦113②T为常数，↓=↑mkTvmp2〜曲线的峰值向左移动，总面积不变，曲线变尖锐Ovf（v）vp2vp1m1m2> m1T必须练习1: 如果，则BASS =①vv= 0v =0②pv③20vv=N0④NNvv2100==∞-正确的答案是: Ovf（v）v0SA SB11 4练习2在区间12vv中找到分子的平均速度解1: ∫1v= 221d）v（vvvvvffv-解决方案2 : ∫1v∫1v∫1v∫1v∫1v∫1v=== 22222221d）v（d）v（d）v（d）v（ddvvvvvvvvvvvvvvfvNfvvNfNNvv —哪个解决方案正确？; ddddd）v（21212121vvvv∫vv∫ vNNvvvNNvvvf−≠== 2121212vvvvvvvvvvvvvv =练习7-11 7-1411 5从历史上看，气体分子的均方根速度（或平均速度）的计算结果为每秒数百米，这使一些人怀疑煤气灶的早期理论抽动. 怪.

示例（P247）计算0°C时氧，氢和氮分子的均方根速率. 解释气体〜100m / srmsvv = 2克劳修斯（Clausius）为了解释这种分子碰撞问题，他还提出了分子碰撞数和自由程的概念，这不仅解决了上述疑虑，而且使得气体动力学理论的基础更加广泛. 坚实的基础向前迈出一步. 在科学史上，由于怀疑，有许多理论发展的例子. 1vT⋅16§7-7分子碰撞的平均数和平均自由程讨论了分子之间的碰撞-气体动力学理论的重要问题之一. 气体分子通过碰撞实现从非平衡状态到平衡状态的动量，能量等交换. 基本概念•自由路径λ: 分子在两次相邻碰撞之间自由通过的路径. 单位时间内分子与其他分子之间的平均碰撞数〜每秒的平均碰撞数. 两次连续两次分子碰撞之间的平均距离. •平均碰撞频率: ZvZλ==•平均自由程: λ•三者之间的关系: 11 7气体的性质与状态之间的关系•建立刚性模型: 质心之间最小距离的平均值两个分子的总和被认为是钢球的直径，即该分子的有效直径；分子之间的相互作用过程被认为是完全弹性的碰撞.

•要确定，想象一下“跟踪”一个分子，计算它在时间t内接触了多少个分子，这主要归因于分子之间的相对运动. “跟踪”一个分子A，认为其他分子不会移动，并且A以平均相对速率相对于其他分子移动. uA球的轨迹: 虚线质心与虚线≤d之间的距离将与A碰撞的分子； 11 82: dσ•A在时间t utπ=碰撞横截面上经过的虚线的长度•以虚线为轴2u的曲折圆柱体的体积t2ddπ⋅⋅••圆柱体螺母中的分子数⋅ π⋅•质心与折线之间的距离> d不会与A碰撞的分子•每单位时间的平均碰撞次数2nu⋅⋅π平均相对速度vu2 =AvBvu2=vAvBv 0 =uvv=ABvu2u〜可由麦克斯韦气体分子速度分布定律证明11 9•平均碰撞频率22Zndvπ=-一般: 1109s10〜10ndzv221πλ==pdkT22πλ= nkTp =常温常压: m10〜 1078-分子有效直径d的数百倍•分子的平均自由程〜每秒碰撞十亿个分子！作业: P270问题7-18问题思考: P268问题7-12〜7-15 120•当气体处于平衡状态时，各部分的温度和压力相同，并且各气体层之间没有相对运动气体.

§7-8气体迁移现象•当气体处于不平衡状态时，气体中每个部分的温度可能不相等麦克斯韦速率分布原理，或者每个部分的压力可能不同，或者之间存在相对运动. 气体层，或者也许这三个相同. 即，当系统各部分的物理特性（例如流速，温度或密度）不一致时，系统将处于不平衡状态. •系统始终必须从不平衡状态过渡到平衡状态，而无需外部干预. 这种过渡称为运输过程. 〜非平衡状态下的气体迁移现象•从非平衡状态向平衡状态过渡时，气体中的能量，质量或动量会从一部分向另一部分定向迁移. 121•气体传输过程分为三种（迁移现象）: 粘性现象（内部摩擦），热传导和扩散. 本节简要介绍其基本规律. 1.粘度•在流体中移动时，物体会受到粘性（内部摩擦）力的作用； •当气体中的气体层之间存在相对运动时，气体层之间也会存在粘性力. 〜气体内部气体层之间的相互作用力. 注意: ②效果: 可使流速较快的气体层变慢，并使流速较慢的气体层变快. ①粘性力成对出现. 122•由于气体中气体各层之间的相对流速，气体内部流速发生变化的现象称为气体粘性现象. 如图所示，将气体温度和分子密度设为恒定值.

气体分为平行于0yz平面的许多气体层. 每个气体层在y轴方向上的流速是不同的，并且沿x轴的正方向增加. 取x轴上的两个点A和B: vx∆〜速度梯度x←∆→vvv + ∆S∆xBAff'∆实验表明: vxfSη∆ = ∆∆粘度（也称为粘度系数）12311kg ms−-⋅ ⋅•国际单位制中，η的单位: 〜气体的粘度与气体的性质和状态有关，可以通过实验进行测量•微观机制（从气体动力学理论的角度出发）•当气体流动时，气体分子除具有热运动速度外还具有定向运动速度（即气体流动速度）. •因为，假设气体的温度为T = C（即，气体分子的平均热速度为常数），并且气体分子的数量密度为n = C. 〜在任何时候，ΔS两侧的分子都通过ΔS交换相同数量的分子. •气体粘度现象的微观性质是分子定向运动动量的迁移，而这种迁移是通过气体分子的随机热运动实现的. 124 2.导热-假设气体中各气体层之间没有相对流速，并且各处的气体分子数密度相同，当物体各部分的温度不一致时，就会产生热量从较高温度转移到较低温度现象.

在x轴上取A和B: Tx∆〜温度梯度∆实验表明: QtTxSκΔ∆∆∆∆ = −∆传热方向与温度梯度方向相反热导率31m kg s ⋅K−-⋅••在国际单位制中，κ的单位: 125•微观机制（从气体动力学理论的角度来看）当ΔS右侧的气体温度高于ΔS的温度时. 在左侧的气体中，右侧的气体分子的平均动能大于在左侧的气体分子的平均动能. •由于气体分子的数量密度在dt时间内等于n，因此由于热运动，在ΔS两侧由ΔS交换的分子数也相等. 右侧分子的平均动能大于左侧分子的平均动能，因此通过ΔS交换，ΔS左侧和右侧的气体分子的平均动能不相等. •从宏观的角度来看，能量从高温的地方转移到低温的地方. •气体热传导现象的微观性质是分子热运动能的方向转移. 这种转移是通过分子的随机热运动来完成的. 126 III. 扩散的原因: 一种气体扩散到另一种气体中，或从某种气体中扩散到另一部分中，前者称为互扩散，后者称为自扩散. ②温度不同； ③气体中每个气体层的流速不同.

•仅讨论由于分子数密度的差异而引起的扩散. 取x轴上的两个点A和B: nx∆〜分子密度梯度∆127实验表明: NtnxDS ∆∆∆∆ = -∆分子扩散方向与分子密度梯度相反的方向是21ms− ••在国际单位制中，D的单位: 扩散系数乘以分子质量m: mt = −∆DSxρ∆∆′∆∆； mmNmnmVρ''===气体密度梯度的气体密度•微观机制（气体动力学理论的观点）由于分子的随机热运动，将有气体分子通过ΔS ΔS的左右两侧. ΔS的数量大于左侧通过ΔS的分子的数量. 128结论: ΔS两侧的分子交换量不等. ΔS右侧的分子数量减少了，而ΔS左侧的分子数量增加了，也就是说，一些气体分子已经从ΔS的右侧迁移到了左侧. •宏观上会发生气体扩散，或者会发生气体质量的定向迁移. •气体扩散现象的微观性质是气体分子数量密度的定向迁移，这也可以通过分子的随机热运动来实现. 4.三种迁移系数可以从气体动力学理论中得出. 粘度η，导热系数κ和扩散系数D为: 131313vηρλ⋅=，VmCvMκρλ⋅=⋅Dvλ⋅=

本文来自电脑杂谈，转载请注明本文网址：
https://www.pc-fly.com/a/dianqi/article-244819-1.html