为什么平衡气体沿麦克斯韦速度分布函数分布？

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亲爱的房东2113:

根据Maxwell在5859年发表的5261年文章“气体动力学理论的解释4102”，速度分布速率和速度1653速率分布速率的推导过程大致如下:

让粒子总数为N，并且在x，y和z的三个方向上的粒子速度分量分别为v（x），v（y）和v（z）.

（1）使用dNv（x）表示速度分量为v（x）从v（x）到v（x）+ dv（x）的粒子数量，然后在该dv（x）中出现粒子间隔概率为dNv（x）/ N. 粒子在间隔dv（x）中出现在不同v（x）附近的概率不同. 使用分布函数g（v（x））表示粒子出现在单位v（x）间隔中的概率，应该有

dNv（x）/ N = g（v（x））dv（x）

当系统处于平衡状态时，容器内各处的粒子数密度n均相同，并且粒子在任何方向上移动的可能性均相等. 因此麦克斯韦速率分布函数 推导，对应于速度分量v（y），v（z），还应该存在形式相同的分布函数g（v（y）），g（v（z）），以便相应的概率为表示为

dNv（y）/ N = g（v（y））dv（y）

dNv（z）/ N = g（v（z））dv（z）

（2）假设以上三个概率彼此独立，并且根据独立概率相乘的概率原理麦克斯韦速率分布函数 推导，粒子出现在v（x）至v（x）+ dv（x）中， v（y）v（y）+ dv（y），从v（z）到v（z）+ dv（z）的概率为

dNv / N = g（v（x））g（v（y））g（v（z））dv（x）dv（y）dv（z）= Fdv（x）dv（y）dv （z）

其中F = g（v（x））g（v（y））g（v（z）），这是速度分布函数.

（3）由于粒子在任何方向上移动的可能性相等，因此速度分布应独立于粒子的速度方向. 因此，速度分布函数只能是速度v =√（v（x）²+ v（y）²+ v（z）²）的函数. 这样，速度分布函数可以用以下形式编写:

g（v（x））g（v（y））g（v（z））= F（v（x）²+ v（y）²+ v（z）²）

为满足此关系，函数g（v（x））的形式应为C * exp（A * v（x）^ 2）. 可用

F = C * exp（A * v（x）²）* C * exp（A * v（y）²）* C * exp（A * v（z）²）=C³exp（Av²）

常数C和A在下面确定. 考虑到无限大速度的粒子的概率非常小，A应该为负. 令A = -1 /α²，然后

dNv / N =C³exp（-v²/α²）dv（x）dv（y）dv（z）=C³exp[-（v（x）²+ v（y）²+ v（z）²）/ α²] dv（x）dv（y）dv（z）

因为粒子速率出现在-∞到+∞整个速率范围内的概率应等于1，即分布函数应满足归一化条件，所以

∫dNv/ N =C³∫exp（-v（x）²/α²）dv（x）∫exp（-v（y）²/α²）dv（y）∫exp（-v（z）² /α²）dv（z）=C³√（πα²）³= 1，

可用C = 1 /（α√π），从而获得麦克斯韦的速度分布定律:

dNv / N =（α√π）‾³exp（-v²/α²）dv（x）dv（y）dv（z）=（α√π）‾³exp [-（v（x）²+ v （y）²+ v（z）²）/α²] dv（x）dv（y）dv（z）

（4）速率分布定律也可以从上式导出. 可以想象一个“速度空间”，它具有三个相互垂直的轴，分别代表v（x），v（y）和v（z）. 从原点到此空间中任意点（v（x），v（y），v（z））的连接表示粒子的可能速度. 由于速度分布与速度方向无关，因此粒子速度以相同速度v出现在速度间隔dv中的概率是相同的. 这个速率间隔是一个半径为v且厚度为dv的球形壳，其总体积为4πv²dv，因此粒子速度出现在v到v + dv的间隔中的概率为

dNv / N =4π（α‾³ /√π）exp（-v²/α²）v²dv

（5）确定常数α. 根据以上公式，可以计算出粒子速度的平方的平均值:

=∫v²*4π（α‾³ /√π）exp（-v²/α²）v²dv=1.5α²，

根据压力微公式p = nm / 3和理想气体状态方程pV = NkT = nVkT

= 3kT / m，所以α²= 2kT / m，

因此，可以获得速度分配率

F（v）= dNv /（Ndv（x）dv（y）dv（z））=√（m /2πkT）³exp（-mv²/ 2kT）

和费率分配率

f（v）= dNv /（Ndv）=4π√（m /2πkT）³v²exp（-mv²/ 2kT），

速度分量v（x）沿x方向的分布速率应为

g（v（x））= dNv /（Ndv（x））=√（m /2πkT）exp（-mv（x）²/ 2kT）.

祝你逐步升级

期待您的采用，谢谢

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