麦克斯韦分子速度分布定律的推论

２００７年４月安徽冶金科技职业学院学报 Ｊｏｕｍａｌ ＡｎｈｕｉＶｏｃａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＶ０１．１７．Ｎｏ．２ Ａｐｒ．２００７ 麦克斯韦分子速度分布定律的推论 （－６鞍山师范高等专科学校安徽马鞍山２４３０００）摘要：为了表述气体分子按频率分布状况，研究它的定量规律，从伽尔顿板实验出发，并运用概率论知识及分子速度分 布满足的归一化条件，推出了平衡状况下的气体分子的麦克斯韦速率分布定律。 关键词：伽尔顿板实验；概率；麦克斯韦速率分布定律 中图分类号：０５５文献标识码：Ａ文章编号：１６７２—９９９４（２ｌｘ）７）０２—００６８—０５ 在普通生物中气体分子的分布状况是一个非 常重要的难题，一般教材都直接给出了麦克斯韦速 率分布定律的内容，本文将给出麦克斯韦速率分布 定律的确切计算过程。 １伽尔顿板实验 伽尔顿板实验是一个说明统计规律的演示实 验：在一块木板上部规则地钉上许多钉子，木板的 下部用竖直隔板隔成许多狭槽。从板顶漏斗形的 人口处可以投入小球，板前覆盖玻璃。以使小球留 在狭槽内，这种装置一般也称伽尔顿板（如图１）。 如果从入口处投入一个小球，则小球在下落过程中先后与许多小球发生撞击，最后落入某一狭槽 内，重复几次实验可以看到每天实验小球落人什么 狭槽是不同样的。

这说明在一次实验中小球落入 收稿日期－＇２００６—１１—２９；改回日期＂２００７一０１—２９ 作者简介：夏灿（１９７９一），女，马鞍山师范高等专科学校，教师。 哪一个狭槽是偶然的。如果同时投入少量小球则 可发现最终落入各狭槽的小球的数量是不相同的， 在中央的槽内小球分布最多。在离中央越远的槽 内小球越少，我们可以把小球按狭槽的分布情况用 笔在玻璃板上画一条连续曲线来表示，若重复实 验，则可以看到在小球数量较少的状况下，每次所 得曲线相互有着显著的差距，但当球的数量众多 时，每次所得曲线相互近似的重叠。 总之，实验结果证实，尽管单个小球落入哪个 狭槽是偶然的，少量小球按狭槽分布情况也具有明 显的偶然性，但长期小球整体按狭槽的分布状况则 是确认的。这就是说，大量小球整体按狭槽的分布 情况，遵从一定的统计规律，因而我们可以从伽耳 顿板实验出发推导麦克斯韦气体分子的速度分布 ２麦克斯韦分子速率分布定率推导伽耳顿板实验中的每个小球，它们朝那个方向 运动麦克斯韦分子速率，速率很大，何时出现碰撞，这一切都是偶然 的、随机的，小球按狭槽得分布也正是通过长期偶 然事件才表现起来的。处于平衡态的理想气体由 于其分子之间、分子与器壁之间极为频繁的撞击， 显然单个分子的频率、速度等微观量不断变换着， 如果去观测这些理想气体中每个单个分子的频率 （或速度）值，会毫无规律的，就是说平衡态理想气 体中单个分子的频率（或速度）的取值是偶然的、随 机的，由此，我们可以将伽尔顿板实验中的小球看 为平衡态理想气体的分子。

由概率论知识，随机现 象所包括的每一个随机事件都有必定的出现概率： 万方数据 总第３６期 夏灿：麦克斯韦分子速率分布定律的推论 ６９耻肛ｌｉｍ。等 指观测数量（非常多），Ｍ指看到ｉ事件次 数，Ｐ；指随机事件发生事故ｉ的几率。如果平衡态 理想气体的分子中速度在移＋ｄ移的分子数为ｄＮ 或速度在口一秽＋ｄ口的分子数为ｄＮ…注意到宏观 系统内比较大，则一个平衡态理想气体系统中， 单个分子速度在ｔＪ一移＋ｄ口的概率Ｐ（ｔ，一移＋ｄ秽） 或平台中单个分子速率在ｉ—ｉ＋矗的概率Ｐ（ｉ一 秽＋ｄ秽）分别为： 从概率的基本定义Ｐ（戈）＝ｌｉｍ百１７ｘ出发，任何随机变量为菇的概率分布函数Ｐ（石）都需要具有两 个基本性质： （１）对任何随机变量戈值Ｐ（石）Ｏ，就是说概 率不会为负。 （２）概率分布函数Ｐ（戈）对所有随机变茗值求 和等于１。即 （４）式为概率分布函数所遵循的归一化条件。对于连续型随机变量，我们不提没有意义的某 一随机变量值的几率问题，下面我们以平衡态理想 气体中分子热运动速率（或速度）作为随机变量来 讨论连续性随机变量的概率问题。平衡态理想气体 中分子热运动速率出现在口一口＋ｄ口范围的概率由 Ｐ（口一口＋ｄｖ）：訾这里Ｊ７＼ｒ为数量极大的理想气体内的分子总 数。

ｄＮｄ。为在一次观测个分子的速度试验中观 测到分子速率在口一口．＋ｄｖ的分子数量，概率Ｐ（移 一移＋ｄｖ）自然与所取的随机变量移和间隔ｄ口有 关，故可表示为： 八秽）为平衡态理想气体中分子热运动速率出现在移附近单位速度间的几率，称为理想气体速率 密度函数，如果我们明白了平衡态理想气体中分子 热运动速度概率密度八秽），则分子发生在任何速 率间隔（口。一口：）范围内的概率Ｐ（秽。一口：）即可求 口：）范围内的分子数，因为在整个速度范围（Ｏ一）内的分子数Ｉ ｄ曲就是理想气体内的总分子数 乇，所以频率概率密度函数满足归一化条件，即 实际上，如果我们了解了八移）和气体的总分子数，由（５）、（７）式，我们就丛热运动统计规律角度出 发，知道了理想气体中速度在移附近幽速率间隔内 的分子和任何速度范围内的分子ＡＮ，即 ｄＮ曲＝Ｎｆ（ｖ）ｄｖ 对于移：＝秽。＋钟而很小的状况下，可近似设在范围的值为由（９）式可得在的分子数为 （ｔＩｌ一移ｌ＋口）一Ｎｆ（ｔ，）静 （１０） 知道了平衡态理想气体的分子热运动速率体积函 数八口）后，由（８）式也可以求与气体分子热运动速 率有关的变量的平均值为 （１１）对于连续取值的随机变量值的差异规律不是由概 率分布函数来描述的，而是由概率密度函数来描述 的。

由于概率密度函数给出了随机变量出科技职业学院学报 ２００７年第２期 子热运动的情况都是相同的，麦克斯韦认为，在平 衡状态下分子速率任一分量的分布与其他分量的 分布无关，即速度的三个分量的分布彼此独立的， 同时（吼，ｑ，眈）的分布率应该是同样的，这就是 说，平衡态理想气体的速率分布函数八吼，勘，，吐） 应为： （１２）此外，速度的分布应该是各向同性的，即速率分布 函数八口）＝以吼，巩，吼）不应该与速度方向有关， 这就规定速度分布函数也是＂２＝种：＋割；＋”：的函 （１３）由（１４）、（１５）式可知，分子速率分布律八吼，吼，吃） 应满足关系 。’对２叱学＝尘警）厂（Ｙｙ）八址）稍加整理，并留意２吼ｄｖ，＝ｄ口：，可得 警＝警（Ｖｙ批；） 化简可得 志蝉ｄｖ＝南＇Ｖｚ掣 （１６）式等式左边是秽２＝影：＋秽：＋秽：的方程，而等式右边是叱的方程，此式若要对％，秽，，％均成立， 它没法对于一个与叱，秽，，叱无关的常数，设此常数 为一口，则上式可写成 一一ｐ由此式第二个等式可得 对此式两边积分，即可得ｆ（秽。

）＝Ｃｌ （１５）ｃ，是积分常数，由厂（叱）和八吼）与八吐）函数方式 相同，故麦克斯韦分子速率分布函数为 （１６）这里Ｃ为积分系数，由于分布率遵从归一化条件， 且由积分公式ｒｅ－詹ｄｘ＝专詈可知 且由积分公式Ｉ 舻：去．／孚可知 ＪＵ…Ｌ ｐ７ｌ＂故麦克斯韦速率分布函数（１６）式可以写为 （１７）７ｒ 分布函数的系数可以由理想气体分子的平动动能 夏ｔ＝ｉ３后ｒ来确认，即： ＝ｋＴ（１８） 而积分 （等）吾－０Ｊ。（口２。＋秽２，＋＂２一）ｄ秽；ｄｖｙｄ秽： 万方数据总第３６期 夏灿：麦克斯韦分子速率分布定律的推论 ７１这里用了积分公式（卫）吾＋ａａ ｅ—ｆｌｕ２，ｄ巩：１和 （等）圭ｊ’！：＂：ｅ一廓２＝ｄ叱＝ｉ１万１将以下结果代人（１８） 式，可得： 丢ｍ寻卢：ｋＴ （１９）是平衡态理想气体分子热运动速率出现在ｉ附近 单位速度间隔内的几率。如果分子速度秽（叱，巩， ％）用一个三维空间的点（叱，％，％）来表示（见图 ２），则分子所有速度值对应的点构成速度空间，则 速度分布函数ｆ（口）是理想气体分子热运动速率出 现在速度空间秽附近单位速度空间面积内的几率。 理想气体分子热运动速率在秽一勘＋ｄ＂内的概率， 或者说，理想气体分子热运动速率在速度空间ｉ附 近ｄ叱ｄ移，ｄ址空间体积元（见图）的概率为： 厂（秽）ｄｖ＝八吼，％，址）ｄｖｘｄｖ，ｄｖ； ＝（赤）吾ｅ—ｗ＋似胛ｄ叱ｄｖｙｄ％（２０） 直角坐标系中分子运动速率概率密度元表述分子的速率分布不必定用直角坐标，也可以用 球坐标。

如图所示，以以为极轴，臼为极角（即速率 矢量秽与极轴间的夹角），９为方位角（即秽在ＶｘＶ， 面上的投影与巩轴间的夹角），移＝Ｉ秽Ｉ为速度的 大／Ｊ、（速率），贝０在移至０秽＋ｄｖ、０到臼＋ｄＯ、９到妒＋ ｄ９之间体元的“体积”为ｄ３移＝秽２ ｓｉｒｄｄＯｄ妒ｄｖ，上 式的球坐标表示式为 ．厂（＂）ｄｖ＝．厂（秽，０麦克斯韦分子速率，驴）秽２ｓｉｎＯｄＯｄ妒ｄｖ ＝（翥）吾ｅ一吉ｍ（ｖ２／ｋＴ）１）２ＳｉｎＯｄ＂ｄ臼ｄ驴（２１） 球面坐标系中分子运动的速率概率密度元 麦克斯韦速率分布曲线用球坐标表示．厂（ｖ）ｄｖ可以说是在平衡态理想气体 中，分子热运动速度在速率空间的ｔ，一口＋ｄｖ，０—０ ＋ｄＯ，Ｐ一妒＋ｄ９体积元内的概率。如果对八ｖ）ｄｖ 中表示速度口方向的角度０，妒在全部空间方向范 围积分，即得： ＝４ｚｒ（赤）ｅ－１ｎｗ２１ｋＴｙ２ｄ秽 （２２） ．“ｖ）ｄｖ显然表示平衡态理想气体中分子热运动速 度不管速度方向，而速率大小在秽一秽＋ｄ口范围内 （如图４）的概率，或者说，．厂（ｖ）ｄｖ是平衡态理想气 体分子热运动速率在＂一秽＋ｄ勘的概率，而变量 八移）＝４７ｒ（赤）ｉ３ （２３）是分子热运动速率在秽附近单位速度间隔内的概 率，这就是麦克斯韦分子速度分布定律的表达式。

万方数据 ７２安徽冶金科技职业学院学报 ２００７年第２期 ３结语 麦克斯韦分子速度分布律是一种统计规律，从 该式的推论过程，我们可以断定气体的麦氏分布与 速度方向无关，只与速度的大ｄｘｆｌｌｌ速率有关，适用 于平衡态下的理想气体。由其我们可以求出气体分 子的平均速度、最可几速率和方均根速率，推导气 体的状态方程，解决碰壁数、泻流等问题。 参考文献 李椿，章立源，钱尚武．热学［Ｍ］。北京：高等教育出版社．１９７８ ［２］张玉民，阮耀钟．热学［Ｍ］．北京：高等教育出版社， １９９１ ［３］汪志诚．热力学 统计物ｍ［Ｍ］．北京：高等教育出版 社．１９９３ ［４］金良．数理统计［Ｍ］．长沙：国防科学技术大学出版 社，１９８７ Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ＭａｘｗｅｌｌＭｏｌｅｃａｌｅ Ｓｐｅｅｄ Ｒａｔｅ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ Ｌａｗ ＸＩＡ Ｃａｎ Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｇａｓｍｏｌｅｃｕｌｅ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｑｕａｎｔｉｔｙ，ｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅ ｂｅｇｉｎｓ ｊａｒｔｏｎ’Ｓｂｏａｒｄ，ａｐｐｌｉｅｓ ｋｎｏｗｌ—ｅａｇｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙ ｆｉｎａｌｌｙｏｂｔａｉｎｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅｒｕｌｅ ｇａｓｍｏｌｅｃｕｌｅ’Ｓ ｒａｔｅ ｕｎｄｅｒ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ： ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ｊａｒｔｏｎ’Ｓｂｏａｒｄ；ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ；ｌａｗ ｍａｘｗｅｌｌｒａｔｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ （上接第６７页） 参考文献 ［１］王江萍，机械仪器故障检测科技及应用［Ｍ］．西北工 业大学出版社，２００１．８ 杨志伊．设备状况检测与故障诊断［Ｍ］．中国计划出版社，２００３．５ 沈庆根，郑水英．设备故障检测［Ｍ］．北京：化学工业 出版社，１９９１．５ ＰＭＳ Ｓｙｓｔｅｍ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｃｏａｌ——ＣｏｋｉｎｇＣｏｍｐａｎｙ ＭＡ Ｓｈｉ—ｗｅｎ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ＰＭＳ ｓｙｓｔｅｍ ｉｔｓｆｅａｔｕｒｅ ｂｅｎｅｆｉｔａｐｐｌｉｅｄ ｃｈｅｃｋ—－ｕｐ ｅｖｅｙ ｂｉｔ ｏｕｒｃｏｍｐａｎｙ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄｏＩｔ ｂｕｓｉｎｓｓｅｎｔｅｒｐｒｉｓｅ ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ Ｃａｎ ｆｏｒｅｎｍｎｅｒ’Ｓｍａｎａｇｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｃｅａｓｅｌｅｓｓ，ｉｐｓｏ ｆａｃｔｏ ｂｕｓｉ—ｎｅｓｓ ｅｎｔｅｒｐｒｉｓｅ ｐｈｙｓｉｃａｌｌｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ＰＭＳ ｓｙｓｔｅｍ；ｃｈｅｃｋ——ｕｐ ｅｖｅｒｙ ｂｉｔ ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ；ｎｅｔｗｏｒｋｍｏｎｉｔｏｒ ｍｅａｓｕｒｅｓｔａｔｅ 万方数据

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