时间分裂差分格式_常微分的差分格式_gvc格式

fenbufa

分步法

method of fractional steps

把复杂的问题的每个时间步分解成若干个中间步,例如把多维问题按坐标分解成几个一维问题,然后用差分法解这些比较简单的各中间步,最后得到原始问题的近似解,这类方法叫作分步法.交替方向隐式法、预测校、局部一维方法、时间法等都属此类.

1955年D.W.毕斯曼与H.H.瑞契福特在(,)平面上用交替方向隐式法（简称ADI方法）,解二维热传导问题

[207-8] (1)时,对[207-9]与[207-10]进行不同处理,一个取成显式(显式差分方法),一个取成隐式,并依次交替以保持对称性.取＝＝时,可得出如下格式[207-11]格式(2)用了两步合成一个循环,一般称之为P-R格式由于P-R格式交替地沿各个空间方向作一维隐式计算,也称为交替方向隐式法,(2)的每个方程组都是系数矩阵为三对直线矩阵的线性方程组,从(2)中消去[207-14]经整理可得

[208-1]把方程(1)的光滑解代入上式,其截断误差为(+),这表明P-R格式具有二阶精度.格式(2)的增长因子是

[208-2]式中[208-3](=1,2).由于对任何[208-4]都有││≤1 因此P-R格式(2)是无条件稳定的.P-R格式不宜向三维问题推广,J.道格拉斯和瑞契福特又提出了一种三维问题的交替方向隐式法,也称D-R方法.考虑三维热传导方程

[208-5] (3)取空间步长[208-6]D-R方法就是

[208-7] (4)在(4)中消去[208-8],[208-9],可得等价格式[208-10]这可说明(4)与微分方程(3)相容,(5)的增长因子是

[208-11]式中[208-12] (=1,2,3).对于一切[208-13],││≤1,因此 D-格式(4)是无条件稳定的.交替方向隐式格式除上述两种外,还有其他各种变形格式,ADI方法从计算(要分几步完成,中间要计算[208-14]或[208-15],[208-22]等.

对于热传导方程(3),H.H.亚年科1959年还提出了更简单的格式

[208-21] (6)消去[208-8],[208-9]之后,得等价格式

[208-16]展开成的幂次式,得

[208-17]这说明(6)与微分方程(3)相容,(6)的增长因子是

[208-18]所以对于一切[208-19],它是稳定的.通常称(6)是局部一维方法,它也是一种分步方法.上述方法的另一特点是把差分算子分解成为较简单的差分算子的积,因而又称算子分解法.

具体公式见下面连接

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