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CRC的全称为Cyclic Redundancy Check，中文名称为循环冗余校验。它是一类重要的线性分组码，编码和解码方法简单，检错和纠错能力强，在通信领域广泛地用于实现差错控制。实际上，除 数据通信外，CRC在其它很多领域也是大有用武之地的。例如我们读软盘上的文件，以及解压一个ZIP文件时，偶尔会碰到“Bad CRC”错误，由此它在数据存储方面的应用可略见一斑。

差错控制理论是在代数理论基础上建立起来的。这里我们着于介绍CRC的算法与实现，对原理只能捎带说明一下。若需要进一步了解线性码、分组码、循环码、纠错编码等方面的原理，可以阅读有关资料。

利用CRC进行检错的过程可简单描述为：在发送端根据要传送的k位二进制码序列，以一定的规则产生一个校验用的r位监督 码(CRC码)，附在原始信息后边，构成一个新的二进制码序列数共kr位，然后发送出去。在接收端，根据信息码和CRC码之间所遵循的规则进行检验，以 确定传送中是否出错。这个规则，在差错控制理论中称为“生成多项式”。

1 代数学的一般性算法

在代数编码理论中，将一个码组表示为一个多项式，码组中各码元当作多项式的系数。例如 1100101 表示为

1·x61·x50·x40·x31·x20·x1，即 x6x5x21。

设编码前的原始信息多项式为P(x)，P(x)的最高幂次加1等于k；生成多项式为G(x)，G(x)的最高幂次等于r；CRC多项式为R(x)；编码后的带CRC的信息多项式为T(x)。

发送方编码方法：将P(x)乘以xr(即对应的二进制码序列左移r位)，再除以G(x)，所得余式即为R(x)。用公式表示为

T(x)=xrP(x)R(x)

接收方解码方法：将T(x)除以G(x)，如果余数为0，则说明传输中无错误发生，否则说明传输有误。

举例来说，设信息码为1100，生成多项式为1011，即P(x)=x3x2，G(x)=x3x1，计算CRC的过程为

即 R(x)=x。注意到G(x)最高幂次r=3，得出CRC为010。

如果用竖式除法，计算过程为

因此，T(x)=(x6x5)(x)=x6x5x, 即 1100000010=1100010

如果传输无误，

无余式。回头看一下上面的竖式除法，如果被除数是1100010，显然在商第三个1时，就能除尽。

上述推算过程，有助于我们理解CRC的概念。但直接编程来实现上面的算法，不仅繁琐，效率也不高。实际上在工程中不会直接这样去计算和验证CRC。

下表中列出了一些见于标准的CRC资料：

ISO HDLC, ITU X.25, V.34/V.41/V.42, PPP-FCS

ZIP, RAR, IEEE 802 LAN/FDDI, IEEE 1394, PPP-FCS

4.CRC算法的实现

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要用程序实现CRC算法，考虑对第2节的长除法做一下变换，依然是M = 11100110，G = 1011，

其系数r为3。

11001100

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1011 )11100110000

1011.......

----.......

1010......

1011......

----......

1110...

1011...

------...

1010..

1011..

-------

100 <---校验码

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