(信息论)第5章无失真信源编码_图文(2)

按照编码规则的局限性划分：

第4章信道编码 3. 编码 循环码的编码规则是：把k位信息码左移r位后被规定的多项式除，将所得余数作校验位加到信息码后面。 第4章信道编码k比特块 mk信息比特 n , k 分组 编码输出 1 复用 系统编码器 m n －k 校验比特块 1 长度n＝mk n , k 分组 2 块交织器 系统编码器 m n －k 2 校验比特块 图4-14 并行级联分组码编码方框图 第4章信道编码4.6.2 串行与并行的级联卷积码 1. turbo码 带交织的并行级联卷积码pccc parallelly concatenatedconvolutional codes 也叫turbo码，turbo编码器的基本结构如图4-15所示， 它由两个并联的递归系统卷积码rsc recursivesystematic convolutional ）编码器组成，并在第二个编码器前面串接了一个交织器。举例说明：比如10-30期都没有出组三，然后32期开了组三，紧接着35期又开了组三，那我们就可以在38期的时候开始买组三了，38-42期应该就会出组三的1、选择冷码相邻号在最冷号的对子码长期不出的情况下，可以选择最冷对码的相邻对码。

21

分组码

奇异码

非唯一可译码

非奇异码

码1

非唯一可译码

唯一可译码

表 5.7

信源符号s i 符号出现概率 p

码4

非即时码

(延长玛)

码2

码3

即时码 (非延长码)

s1 s2 s3 s4

1/ 2 1/ 4 1/ 8 1/ 8

0 11 00 11

0 10 00 01

1 10 100 1000

1 01 001 0001

码1 是奇异码， 码2是非奇异码。码2不是唯一可译码，因为码2的2

22 次扩展是奇异的。码3是唯一可译码。码3是非即时码，码4是即时码。

信源编码方法

匹配编码

变换编码

识别编码

23

5.4.2 克拉夫特不等式和麦克米伦不等式 定理 5.4.1 设信源符号集为 S ? ?s1 , s 2 ,?, s q ? ，码符 号集为 X ? ?x1 , x2 ,?, xr ? ， 对信源进行编码，相应的码 字为 W ? ?W1 ,W2 ,?,Wq ? ，其分别对应的码长为 l1 , l 2 ,?, l q 则即时码存在的充要条件是

q

(5.42)

式(5.42)称为克拉夫特(Kraft)不等式。

24

定理 5.4.2 在定理5.4.1所给定的条件下，唯一可译 码存在的充要条件是

q

(5.53)

其中， r 为码符号个数，l i 为码字长度，q为信源符号 个数。式(5.53)称为麦克米伦(McMilan)不等式。该不等

式与克拉夫特不等式在形式上完全相同。这个不等式首

分析：解法一：利用特值法我们可以用排除法解答本题，分别取x=0，x=﹣4根据满足条件的答案可能正确，不满足条件的答案一定错误，易得到答案．解法二：我们利用零点分段法，我们分类讨论三种情况下不等式的解，最后将三种情况下x的取值范围并起来，即可得到答案．解答：解：法一：当x=0时，|x﹣5|+|x+3|=8≥10不成立可排除a，b当x=﹣4时，|x﹣5|+|x+3|=12≥12成立可排除c故选d法二：当x＜﹣3时不等式|x﹣5|+|x+3|≥10可化为：﹣（x﹣5）﹣（x+3）≥10解得：x≤﹣4当﹣3≤x≤5时不等式|x﹣5|+|x+3|≥10可化为：﹣（x﹣5）+（x+3）=8≥10恒不成立当x＞5时不等式|x﹣5|+|x+3|≥10可化为：（x﹣5）+（x+3）≥10解得：x≥6故不等式|x﹣5|+|x+3|≥10解集为：（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）故选d点评：本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，其中利用零点分段法进行分类讨论，将绝对值不等式转化为整式不等式是解答本题的关键．5．（2011。由于三着色条件唯一而使得p四着色的条件唯一，我们来看四着色条件的特点，当p与r发生联系后，不管r有多少满足条件的奇数环，势必最终只能有包括p在内的三个区域能与外界区域发生联系。第一问：由题意可得 f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x).所以周期为4.第二问：只要证明f(x+1)=f(1-x)成立就行了.f(1-x)=f[-(x-1)]=-f(1-x)=f(1-x+2)=f(1+x),///(这个式子是有题目中的条件做的等式变换的来的,奇函数以及f(x+2)=-f(x))。

25

5.4.3 唯一可译码判别准则

在上面的定理5.4.1和定理5.4.2中虽然给出了即时码 或唯一可译码存在的充分必要条件，但是，该定理并不 能作为判别一种码是否为即时码(或唯一可译码)的判别。 另外，在定义5.2.4中，虽然给出了判断唯一可译码的方 法，但在实际应用中却十分困难，因为不可能一一检查 所有 N 阶扩展码的奇异性。

对于任意集合x和任意合理性质p，都可以产生出一个集合y，y由x中那些满足p的元素构成。所以，任何词都有词根，如果按照构词法给同一词根分别加上不同的前缀和后缀，就会构成以该词根为核心意义的词义各异的词，这些词就叫同根词。而有些外语单词却是由双重前缀或双重词根加后缀构成，或无后缀，如俄语中的heполвйжиьiй（不动的，静止的）一词就是由he和no两个前缀构成，分解单词时，切不可误划为heп—олвйж—н—ьiй。

26

+=方程有实数根 求（数学 1 必修） 第一章（上） 集合 [综合训练 b 组]一、 选择题 1． 下列命题正确的有（ ） （1） 很小的实数可以构成集合。设perm表示每一个全排列前加上前缀ri得到的排列.当n=1时,perm= 其中r是唯一的元素,这个就是出口条件.当n>1时,perm由perm,perm,...perm构成.函数perm是求将list的第0~k-1个元素作为前缀。设某信道有r个输入符号,s个输出符号,信道容量为c,当信道的信息传输率r码长n足够长,总可以在输入的集合中(含有r^n个长度为n的码符号 序列),找到m (m<=2^(n(c-a))),a为任意小的正数)个码字,分别代表m个等可能性的消息,组成一个码以及相应的译码规则,使信道输出端的最小平均 错误译码概率pmin达到任意小。

S1 , S 2 ,? 中没有一个含有 S 0 中的码字。

27

? 别被编码为 ?a, c, ad, abb, bad, deb, bbcde 。按照上述方法

例：设消息集合共有7个元素 ?x1 , x 2 ,?, x7 ? ，它们分

可构造出如下表的码符号集序列。从表中看出，当 n ? 7 时，S n 是空集，而 S1 ~ S 7 中都不包含 S 0 中的元素，因 此 S 0 是唯一可译码。

S0 a c ad abb bad deb bbcde

28

S1 d bb

S2 eb cde

S3 de

S4 b

S5 ad bcde

S6 d

S7 eb

5.4.4 变长编码定理 1、码平均长度 定义 5.4.1 设有信源

编码后的码字分别为 W1 ,W2 ,?,Wq ，各码字相应的码长分 别为 l1 , l2 , ?, lq 。因是唯一可译码，信源符号 s i 和码字 Wi 一一对应，则这个码的平均长度为

i ?1 q

(5.59)

比特/ 码符号 比特/ 秒

编码后信道的信息传输率

编码后信道每秒钟传输的信息量

(5.60)

29

(5.61)

其中 rnlrnlog'2、 香农第一定理（可变长无失真信源编码定理） 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 说明： 1） 通过对扩展信源进行可变长编码， 可以使平均码长无限趋近 于极限熵值， 但这是以编码复杂性为代价的。 2） 无失真信源编码的实质 ： 对离 散信源进行适当 的变换， 使变换 后新的符号序列 信源尽可能为等概率分布， 从而使新信源的每个码 符号平均所含的信息量达到最大。 证明基本条件： 1） 随机编码 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 一、 香农第一定理 三、 香农第三定理 二、 香农第二定理 不大于一定编码速率的条件下， 使平均失真限 制到最小。

2） 无失真信源编码的实质 ： 对离 散信源进行适当 的变换， 使变换 后新的符号序列 信源尽可能为等概率分布， 从而使新信源的每个码 符号平均所含的信息量达到最大。 第4章信道编码4.3.2 数字电视中的rs码 在数字电视中，一个符号是一个8 b的字节，因此总共有28 8＝256种符号，这256种符号组成伽罗华域gf 2 。 二、 香农第三定理（保真度准则下的信源编码定理） 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 信 源 信 宿 限 失 真 信 源 编 码 器 限 失 真 信 源 译 码 器 无 失 真 信 源 编 码 器 无 失 真 信 源 译 码 器 信 道 编 码 信 道 译 码 a b c d 信道 e f g h 一般通信系统框图 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 总结： 香农第二定理（有噪信道编码定理） r &le。

(5.62)

上式给出了存在最佳唯一可译码的上下界，但下界是我们追求的。 30

2、变长无失真信源编码定理

变长无失真信源编码定理即Shannon第一定理 定理 5.4.4 设离散无记忆信源为

其信源熵为 H ? S ? 。它的 N 次扩展信源为

N N

其熵为 H ? S N ? 。码符号集 X ? ? x1 x2 ? xr ? 。现对信源 S N 进行编码，总可以找到一种编码方法，构成唯一可译码， 使信源 S 中的每个信源符号所需的码字平均长度满足

31

LN H ?S ? 1 H ?S ? ? ? ? log r N N log r

(5.76) (5.77)

或

lim LN ? H r ?S ? N

当 N ? ? 时，则

(5.78)

其中，L N 是无记忆 N 次扩展信源 S N 中每个信源符号 ? i 所对应的平均码长。

i ?1 q

N

式中，? i 是 ? i 所对应的码字长度。

都是表示离散无记忆信源 S 中每个信源符 32 号 si , i ? 1, 2, ?, q 所对应的平均码长，但计算对象不同。

L

LN 和N

(5.78)式表明，当 N 充分大时，每个信源符号所对 应的平均码长 的平均码长

LN N LN N

小于该信源熵 H r ?S ? ，则唯一可译码不

等于 r 进制的信源熵 H r ?S ? 。若编码

存在。这是因为不能生成和信源符号一一对应的码字， 在译码或反变换时必然会带来失真和差错。

上面的变长编码定理是在离散无记忆信源的情况下 推导的，但将该结论推广到平稳遍历的有记忆信源， 如一般离散信源或马尔可夫信源，便有：

lim LN H? ? N log r

(5.79)

其中，H ? 为有记忆信源的极限熵。

33

变长编码的编码速率：

LN R? log r N

def

(5.80)

该式表明，编码后平均每个信源符号能载荷的最 大信息量

有了编码速率的定义，就可以将Shannon第一 定理用 R 重新表述如下： 若

就存在唯一可译的变长编码。若

则不存在唯一可译的变长编码。不能实现无失真的信 源编码。

34

定理 5.4.5

编码效率定义为

LN 其中， L 为平均码长。此处， L ? 。因为 N

(5.81)

故编码效率 ? 一定是小于或等于 1 的数。 平均码长 L 越短，即 L 越接近它的极限 值 H r ?S ? ，那么编码效率将趋于1，效率就越高，因 此，可以采用编码效率 ?来衡量各种编码的优劣。

35

定义 5.4.3 对于变长码，定义码的剩余度为

(5.82)

码的剩余度主要是用来衡量各种编码与最佳码的差距。 例 5.4.2： 有一个离散无记忆信源

其熵为

H ?S ? ? 1 3 4 log 4 ? log ? 0.811 4 4 3 比特 / 信源符号

36

由于原始信源只有两个符号，可以用二元符号 s 2 ? 1 。这 (0,1) 来构造一个即时码，即 s1 ? 0, 时平均码长 L ? 1 二元码符号 / 信源符号 。 编码效率为

H ?S ? ? 0.811 L

得信道的信息传输率为

R ? 0.811

比特 / 二元符号

2 如对该信源 S 的二次扩展信源 S 进行编码。其 二次扩展信源 S 2 和即时码如下表所示。

37

s1 s1 s1 s 2 s 2 s1 s2 s2

即时码 0 10 110 111

9 / 16 3 / 16 3 / 16 1 / 16

二次扩展后的码的平均长度

9 3 3 1 27 ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 3 ? 16 16 16 16 16 二元码符号 / 二个信源符号

信源S中每一单个符号的平均码长为

L? L2 ? 27 / 32 2 二元码符号 / 信源符号

其编码效率

得

32 ? 0.811 ? 0.961 27

比特 / 二元码符号

R2 ? 0.961

从以上二次扩展信源编码看，虽然编码复杂了一些，但信息 传输效率有了提高

38

如采用同样的方法进一步对信源 S 的三次和四次扩 展信源进行编码，求出其编码效率为

? 3 ? 0.985

R 3 ? 0.985 R 4 ? 0.991

? 4 ? 0.991

比特 / 二元码符号 比特 / 二元码符号

相对应的信道的信息传输率分别为

从以上例子中得出，在获得同样的编码效率(96%)的 情况下，变长码只需对二次 (N=2) 扩展信源进行编码， 而等长码则要求 N 大于 4.13 ? 10 7 。很明显，用变长码时， N 不需很大就可以达到相当高的编码效率，而且可实现 无失真编码。随着扩展信源的次数的增加，编码的效率 越来越接近于1，编码后信道的信息传输率 R 也越来越接 近于无噪无损二元对称信道的信道容量 C=1 比特/二元码 39 符号，达到信源与信道匹配，使信道得到充分利用。

5.4.5 变长码的编码方法

1、Shannon 编码方法 Shannon 第一定理是一个很重要的极限定理，它指 出了平均码长与信源之间的关系，同时指出了可以通过 编码使平均码长达到极限值。

Shannon 编码方法特点：多余度稍大，而实用性不 大，但有重要的理论意义。

编码的具体方法步骤：

① 将信源发出的N个消息符号按其概率的递减次序依

次排列

40

表 5.11 Shannon 编码

消息序号 消息概率 累加概率

( si ) s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7

p?si ? 0.20 0.19 0.18 0.17 0.15 0.10 0.01

( Pi ) 0 0.2 0.39 0.57 0.74 0.89 0.99

? log p?si ? 2.34 2.41 2.48 2.56 2.74 3.34 6.66

代码组长度

二进制 代码组

(li ) 3 3 3 3 3 4 7

000 001 011 100 101 1110 1111110

41

② 按下式计算第 i 个消息的二进制代码组的码长 l i

并取整

③ 为了变成唯一可译码，首先计算第 i 个消息的

累加概率

④ 将累加概率 Pi (为小数)变成二进制数。 ⑤ 去除小数点，并根据码长 l ，取小数点后 l i 位 i

数作为第 i 个消息的代码组。 l i 由下式确定。

(取整)

42

例 5.4.3： 对上面表5.11进行Shannon编码。计算 第 i 位信息的代码。 假设 i=4 ,首先求第4位消息的二进制代码组的码长 l 4 。

l 4 ? ? log p?s 4 ? ? ? log 0.17 ? 2.56 (取整)

故

l4 ? 3

再计算累加概率 P4

3

0.2 ? 0.19 ? 0.18 ? 0.57

将累加概率 P4 变换成二进制数

故变换成二进制数为0.100 ?

43

是无理数（则π也是无理数），并提及π是超越数的可能性-1841年rutherford计算了208个小数位，但并非全部是正确的152位小数1844年zacharias dase及strassnitzky200位小数1847年thomas clausen248位小数1853年lehmann261位小数1853年rutherford440位小数1853年william shanks527位小数1855年richterout500位小数1874年en:william shanks耗费15年计算了707位小数，可惜1946年d。块2的每一位定义如下：block21514131211109876543210组型码(a3a2a1a0)b0tppty码a/b地址码=4位其中，组型码=4位无失真信源编码定理，版型码b0=1位，tp码=1位，pty码=5位，a/b码=1位，地址码=4位。葡萄酒的条形码共13位数字，通常由四部分组成，前缀码（前3位，标示国家或者地区）、制造厂商代码（4至8位，由所在国家（或地区）的编码机构统一编配给所申请的商号）、商品代码（9至12位，个别货品号码，由厂家先行将产品分门别类，再逐一编码）和校验码（13位）。

i ?1 q

码元/ 符号

平均信息传输速率

R? H ?S ? 2.61 ? ? 0.831 L 3.14

比特/ 码元时间

44

2、Huffman 编码 霍夫曼(Huffman)于1952年提出了一种构造紧致码

的方法。该编码方法曾经是一种非常流行的、实用的编

码方法。 其编码步骤如下：

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并将这两个概率最小的信源符号合并成一个，从而得到 只包含 q-1 个符号的新信源

s1 ，称为缩减信源。

45

③ 把缩减信源 s1 的符号仍按概率大小依递减次

序排列，再将其最后两个概率最小的符号合并成一个

符号，并分别用 0 和 1 码符号表示，这样又形成了

q-2 个符号的缩减信源

s2 。

④ 依此继续下去，直至信源最后只剩两个符号为

止。将这最后两个信源符号分别用二进制符号 “0” 和“1” 表示。

⑤ 最后，从最后一级缩减信源开始，向前返回，

就得出各信源符号所对应的码符号序列。

46

Huffman 编码方法得到的码并非是唯一可译码， 造成非唯一的原因是：

① 每次对信源缩减时，赋予信源最后两个概率最

小的符号，用 0 和 1 是可以任意的，所以可以得到不

同的Huffman码。

② 对信源进行缩减时，两个概率最小的符号合并

后的概率与其他信源符号的概率相同时，这两者在缩 减信源中进行概率排序时，其位置放置次序是可以任 意的，故会得到不同的 Huffman 码。

47

定理 5.4.6 Huffman 码是紧致码。

Huffman 码是用概率匹配方法进行信源的编码。

它有两个明显的特点：

① Huffman码的编码方法保证了概率大的符号对应

于短码，概率小的符号对应于长码，充分利用了短码。

② 每次缩减信源的最后二个码字总是最后一位不同，

从而保证了Huffman码是紧致即时码。 Huffman 码并非唯一性，但相比之下码长方差最 小的码为较佳码。

48

例 5.4.4 ： 设有离散无记忆信源

对其进行Huffman编码，编码过程如表 5.12所示。 该Huffman码的平均码长

5

2.2

其编码效率

码元 / 信源符号

49

Huffman 码是即时码。

表 5.12 Huffman编码过程

信源符号 概率 si

s1 s2 s3 s4 s5

0 .4 0 .2 0 .2 0 .1 0 .1

0 1

1 10 000 0010 0011

0

000

0010

s1

0 .4 0 .2 0 .2 0 0 .2 1

编 码 过 程

码字 码长

s2

1 01 000 001 0 .4 0 .2 1 1 01

s3

0.6 0.4 1

Wi 0 1 01 000 0010 0011

li

1 2 3 4 4

0.4 0 00

0 0 1 0 1

0011

A

1

1

1

01 例 5.4.4 的码树

50

表 5.13 例 5.4.4 中另一种Huffman码

信源符号 概率 si

00

s1 s2 s3 s4 s5 0 .4 0 .2 0 .2 0 .1 0 .1

0 1

10 11 010 011

0

00 010

s1

0 .4 0 .2

编 码 过 程

码字 码长

s2

0 .4 00 0.4 01 0.2 10 11

1 0 00 1 01

s3

0.6 0.4

0

Wi

li

1

00 10 11 010 011

2 2 2 3 3

0 .2 0 0 .2 1

A 0 1 1

0

0 10 1

011

1

11

表5.13中霍夫曼码树

51

计算表5.13中的Huffman码的平均码长为：

5

? 2.2

其编码效率为

码元 / 符号

从表5.12和表5.13构成的两种Huffman码，有相同 的平均码长和编码效率。但两种码的质量不完全相同， 往往采用方差来进行辨别哪一种编码方法为较佳。

52

方差计算公式为

2 l 2 q i ?1

2

(5.86)

表5.12中的Huffman码的方差

q 2 l1 2 i ?1

表5.13中的Huffman码的方差

q 2 l2 2 i ?1 2

2

2 2 2

2 2

2

2

2

可见，第二种Huffman码编码方法的码方差要比第一 种Huffman码编码方法的方差小很多，表明第二种 53 Huffman码较佳。

信息论与编码基础 香农三大定理 简介 2、 香农第一定理（可变长无失真信源编码定理） rshlognlnrshlogn)(1)(定理4.1 设 信源， 若对 n},...,,{21nqns为q元离散无记忆信源s的n次扩展 xxxx},...,,{21s 进行编码， 码符号集 r， 则总可以找 到一种编码方法构成惟一可译码， 使信源s中每个符号所需的平均 编码长度满足： 且当 n时有： )(log)(limnshrshnlrn信息论与编码基础 香农三大定理 简介 表述二： 若r>h(s)， 就存在惟一可译变长编码。众所周知,在计算机当中,数据的存储和加工都是以字节作为基本单位的,一个西文字符要通过一个字节来表达,而一个汉字就要用两个字节,我们把这种每一个字符都通过相同的字节数来表达的编码形式称为定长编码.以西文为例,例如我们要在计算机当中存储这样的一句话:i am a teacher.就需要15个字节,也就是120个二进制位的数据来实现.与这种定长编码不同的是,哈夫曼编码是一种变长编码.它根据字符出现的概率来构造平均长度最短的编码.换句话说如果一个字符在一段文档当中出现的次数多,它的编码就相应的短,如果一个字符在一段文档当中出现的次数少,它的编码就相应的长.当编码中,各码字的长度严格按照对应符号出现的概率大小进行逆序排列时,则编码的平均长度是最小的.这就是哈夫曼编码实现数据压缩的基本原理.要想得到一段数据的哈夫曼编码,需要用到三个步骤:第一步:扫描需编码的数据,统计原数据中各字符出现的概率.第二步:利用得到的概率值创建哈夫曼树.第三步:对哈夫曼树进行编码,并把编码后得到的码字存储起来.因为定长编码已经用相同的位数这个条件保证了任一个字符的编码都不会成为其它编码的前缀,所以这种情况只会出现在变长编码当中,要想避免这种情况,我们就必须用一个条件来制约定长编码,这个条件就是要想成为压缩编码,变长编码就必须是前缀编码.什么是前缀编码呢。这张编码表的特殊之处在于，它是根据每一个源字符出现的估算概率而建立起来的（出现概率高的字符使用较短的编码，反之出现概率低的则使用较长的编码，这便使编码之后的字符串的平均期望长度降低，从而达到无损压缩数据的目的）。

(5.87)

其中，? 表示信源缩减的次数。

二、 香农第三定理（保真度准则下的信源编码定理） 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 信 源 信 宿 限 失 真 信 源 编 码 器 限 失 真 信 源 译 码 器 无 失 真 信 源 编 码 器 无 失 真 信 源 译 码 器 信 道 编 码 信 道 译 码 a b c d 信道 e f g h 一般通信系统框图 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 信息论与编码基础 香农三大定理 简介 总结： 香农第二定理（有噪信道编码定理） r &le。java使 用 补 码 来 表 示 二 进 制 数 ,在 补 码 表 示 中 ,最 高 位 为符号 位 ,正 数 的 符 号 位 为 0,负 数 为 1。整体来说，扩频因子的大小决定了1个用户的实际数据数率的大小（注意，这里说的是实际数据，例如大家都传输11111111这个数据，a用11表示1，那么他的实际数据是1111，而b用1111表示1，那么他的实际数据为11，这样b的出错概率就比a小，但他的数据数率也比a小）但是因为正交码的存在，从基站上看，提高扩频因子，对某一用户的实际数据数率降低了，但同时的可用用户数多了（扩频码）整体的实际数据数率却没变mscbsc移动通信论坛拥有30万通信人员，超过50万份gsm/3g等通信技术资料，是国内领先专注于通信技术和通信人生活的社区。

3、Fano 码

费诺(Fano)编码属于概率匹配编码，但它不是最佳 的编码方法。不过有时也可得到紧致码的性质。 Fano 码的编码过程：

① 将信源符号

排列，即

s i , i ? 1, 2,?, q

依概率递减次序依次

② 将依次排列的信源符号依概率分成两大组，使两

个组的概率和近似于相同，并对各组赋予一个二进制码 符号 “0” 和 “1” 。

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③ 将每一大组的信源符号进一步在分成两组，

使划分后的两个组的概率和近似于相同，并又分别

赋予两个组一个二进制符号 “0” 和 “1”。

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