牛顿拉夫逊法的基本原理

spice应用了一组电路模型方程，基本分析工具是牛顿—拉夫逊迭代法。六、常微分方程与差分方程考试要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程.齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法.3.会解二阶常系数齐次线性微分方程.4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式.指数函数.正弦函数.余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程.5.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念.6.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.7.会用微分方程求解简单的经济应用问题.。斯托克斯1845年在牛顿这一实验定律的基础上，作了应力张量是应变率张量的线性函数、流体各向同性及流体静止时应变率为零的三项假设，从而导出了广泛应用于流体力学研究的线性本构方程，以及被广泛应用的纳维-斯托克斯方程（简称：纳斯方程）。

   设欲求解的非线性代数方程为

                      f(x)=o

设方程的真实解为x*，则必有f(x*)=0。用牛顿-拉夫逊法求方程真实解x*的步骤如下：

   首先选取余割合适的初始估值x°作为方程f(x)=0的解，若恰巧有f(x°)=0，则方程的真实解即为x*= x°若f(x°)≠0，则做下一步。

   取x¹=x°+Δx°为第一次的修正估值，则

                         f(x¹)=f(x°+Δx°)

14. 会将定义在闭区间[-l, l)上的黎曼可积函数延拓成周期为2l的函数并展开其傅里叶级数, 会将定义在[0, l) 上的函数展开为正弦级数与余弦级数, 会写出傅里叶级数的和函数的表达式.。11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式.。会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅立叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数和余弦函数。

1当k 2 时， 1 lnx lnx 2 2    d f x d x f f        2 2 2     1 3 '' ln x ' ln x ln xx [f ( ) 6f ( ) 8f ( )] ，4 2 2 2 2  1 1 2 2  2t 4t  6t '' ' ， 4a x (ln x) d f (t) e 4a e t e [f (t) 6f (t) 8f (t)] 2  2 4a t2 d 2 d 4 f t 。（1）因为对任意x,y∈r,恒有f(x+y)=f(x)+f(y),因此令x=y=0,可得f(0)=f(0)+f(0),于是,f(0)=0（2）再令x=y=1,可得f(2)=f(1)+f(1)=1+1=2,因此,原不等式等价于f(2a)>f(a-1)+f(2)另一方面,由于“对任意x,y∈r,恒有f(x+y)=f(x)+。分析：当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x=0解得x=0或x=1，由周期性可求得区间[0，6）上解的个数，再考虑x=6时的函数值即可．解答：解：当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x=0解得x=0或x=1，因为f（x）是r上最小正周期为2的周期函数，故f（x）=0在区间[0，6）上解的个数为6，又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间[0，6]上解的个数为7，即函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7故选b点评：本题考查函数的零点个数问题、函数的周期性的应用，考查利用所学知识解决问题的能力．11．（2011。

若所取的|Δx°|足够小，则含(Δx°)²的项及其余的一切高阶项均可略去，并使其等于零，即：

x＜0时,f(x)＝e^x,连续.x＞0时,f(x)＝x＋b,连续.若f(x)在x＝0处连续,则lim(x→0+)f(x)＝lim(x→0-)f(x)＝f(0)＝alim(x→0+)f(x)＝lim(x→0+) e^x＝1lim(x→0-)f(x)＝lim(x→0-) (x+b)＝b所以1＝b＝a,得a＝1,b＝1所以。x→0-,f(x)=x→0-,e^ax =1x→0+,f(x)=x→0+,b(1-x-x^2)=b所以b=1因为x→0-,f′(x)=x→0-ae^ax =ax→0+,f′(x)=x→0+,b(1-2x)=b所以a=b=1即当a=b=1时函数f(x）在x=0处连续且可导。（1）因为对任意x,y∈r,恒有f(x+y)=f(x)+f(y),因此令x=y=0,可得f(0)=f(0)+f(0),于是,f(0)=0（2）再令x=y=1,可得f(2)=f(1)+f(1)=1+1=2,因此,原不等式等价于f(2a)>f(a-1)+f(2)另一方面,由于“对任意x,y∈r,恒有f(x+y)=f(x)+。

故得                           Δx°=-f(x°)/f'(x°)

从而                           x¹= x°-f(x°)/f'(x°)

   可见，只要f'(x°)≠0，即可根据上式求出第一次的修正估值x¹，若恰巧有f(x¹)=0，则方程的真实解即为x*=x¹。若f(x¹)≠0，则用上述方法由x¹再确定第二次的修正估值x²。如此反复叠代下去，直到求得真实解x*为止。

   设为第k次的估值， 为第(k+1)次的修正估值，则有：

故得                  

从而                  

的确，要改变spice的基石，例如改进的节点分析法（modifiednodal analysis），稀疏矩阵解法（sparse matrix solver），牛顿-拉夫逊迭代（newton-raphsoniteration），隐性数值积分（implicitnumerical integration），等等，确实不容易。最后一句使用牛顿迭代法对进行一遍迭代求解，也就是将上面得到的带入牛顿迭代法的公式当中作为初始值计算一遍，最后得到较为精确的结果。各流层间切应力服从牛顿内摩擦定律，即二、流速分布将式代入中得分离变量其中和都为常数，在均匀流过流断面上j也是常数，积分上式得过流断面上流速分布表达式（为抛物线方程）时得流量平均流速流速分布不均，其动能校正系数为动量校正系数为三、沿程水头损失计算以代入式中得：改写为通用的达西公式的形式：沿程摩阻系数： 表明的函数牛顿—拉夫逊法牛顿—拉夫逊法，与管壁粗糙无关。

为函数f(x)在 点的一阶导数值。

   实际中只要 足够小，即满足：

迭代即可结束。式中ε为预先指定的一个小正数,视需要而定。

   例15-4-1 用牛顿-拉夫逊法求解非线性代数方程

                         f(x)=4x3+5x-3=0的解（取 ）。

解：f'(x)=12x2+5.选取初始值x°=2,则有：

                                                  f(x°)=f(2)=39≠0

   第一次迭代：

               f'(x°)=f'(2)=53

                            x¹=x°+△x°=x°-f(x°)/f'(x°)=2-39/53=1.26415

                            f(x¹)=f(1.26415)=11.40158≠0

   第二次迭代：

              f'(x¹)=f'(1.26415)=24.17690

             x²=x¹+△x¹=x¹-f(x¹)/f'(x¹)=0.79256

                          f(x²)=f(0.79256)=2.95419≠0

可见f(x²)虽不等于零，但较之f(x1)则更向零逼近了，故可预见迭代是收敛的。

   第三次迭代：

            f'(x²)=f'(0.79256)=12.52782

                        x³=x²+△x²=x²-f(x²)/f'(x²)=0.55694

            f(x³)=f(0.55694)=0.47571

继续迭代下去可得

即方程的解为x*=0.50000。

f.每个迭代次数内的每荷载增步中的收敛控制参数，当在分析>非线性分析控制中设定了控制参数时，遵循设定的参数，没有设定参数时如上面a中所述默认为迭代次数为30次，收敛标准范数为0.01。3优化分析 优化前后各个初始变量如下表所示： 表4-9 优化参数 变量名称 初值 优化值 变化范围 x （大面宽度） 16 21.4 10~31 z （小面宽度） 15 19 6~19.5 r （倒角半径） 9 16.5 0~17 孔洞率 30% 29% 经过优化得到比较理想结果，优化过程的历程曲线下图所示： 图4.39 优化迭代历程曲线 由图4.40可知，经过8次优化迭代，最优序列产生在第七个序列，这时提取的x最优值为2 1.4 ，z最优值为19, r最优值为16.47 。3优化分析 优化前后各个变量如下表所示：硕士学位论文 第四章 混凝土多孔砖抗折强度数值模拟 25 表4-7 优化参数 变量名称 初值/ 优化/ 变化范围 mm mm x （大面宽度） 20 16.5 10~27 z （小面宽度） 20 24 6~26.5 r （倒角半径） 9 13.5 0~ 15 孔洞率 34% 32% [40] 经过优化得到了比较理想的结果，优化过程的历程曲线 下图所示： 图4.14 优化迭代历程曲线 由图4.14可知，经过9次优化迭代，最优序列产生在第8个序列，这时提取的x最优值为16.5，z最优值为24, r最优值为13.5。

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