刚体绕固定轴的旋转方程的矢量推导

第2卷，2000年6月3日，辽宁高等职业学院学报加利福尼亚州圣弗朗西斯科州立大学学报1.2. 2月3日2Oo0固定轴刚体旋转方程的矢量推导李杰（辽宁省营口市英飞职业技术学院，辽宁1 15000）在目前使用的力学教科书中，通常采用以下方法推导刚体旋转关于固定轴的方程，即: 从刚体开始是一个不变的质量点系统，牛顿定律用于列出刚体中每个质量点的动力学方程（标量公式），然后列出每个刚体的力矩计算质量点刚体绕定轴转动，并将所有这些方程式相加，得出旋转方程式（标量形式），最后指出M和B都是向量，从而得出旋转方程式的向量表达式: =. 这种推导方法的优点是推导过程很清晰，揭示了刚体运动与刚体中每个粒子运动之间的关系，很容易让学生接受. 但是，从旋转方程是矢量定律的角度来看，在推导过程中使用矢量运算要好于标量运算. 原因是: i）它可以加深学生对法的向量性的理解，尤其是在讨论刚体时. 在“练习”中，对“向量”的理解尤为重要； 2）数学计算方法得到了改进； 3）训练了学生使用向量分析和计算问题的能力.

现在尝试使用一致的矢量推导方法与您讨论. 让刚体绕固定轴0Z轴旋转，在刚体中选择一个质量点i（如图所示），其质量为mi，质点i相对于轴0z的矢量为，外部它接收到的力是“'内力是'. 为了简化讨论，错误的外力）和内力在垂直于旋转轴的旋转平面内. 当刚体绕固定轴0Z旋转时，刚体中的任何粒子都会以不同的半径进行圆周运动. 根据牛顿第二定律: 粒子1，，1，和i的运动方程为: + w =​​ m，（1）其中，粒子i的加速度. 上式中等号的两边乘以: ×J +×u J =×m ,,（2）其中X是作用在粒子i上的外力，而X轴上的力矩X作用在粒子i到轴0z的内力力矩. 考虑到当刚体旋转时，粒子i绕固定轴0Z圆周运动，加速度=. -'1- ，: 可以表示法向加速度和切向加速度的矢量和，即，等式（2）可以写为: ×J +×oJ =×m. （. +）或בI +. בfJ =×，z.

钢包. 十个×，z⋯／刚体绕定轴转动，／（3）是×（e）+'J）=×，z或书写. 在圆周运动中，粒子i的法向加速度指向沿弧矢半径的旋转轴，因此这两个向量在相反的方向上共线，因此×= 0公式（3）变为×'十×'= x mioh，（4）切向加速度，其中= i =绕轴的粒子i. z旋转角速度，Lu是绕轴的粒子. 接收到z的旋转角度. 日期: 2000年3月20日，魏杰信息杂志3李杰: 刚体绕固定轴方程的矢量推导加速度，则方程（4）可表示为×'）+×'fl: ×mi （--7-×）（5）根据公式，×（×）=（·）〜（·），然后×（，dcb，×）: . （·）1（·警告），因为它与Oz轴平行，所以蜡在（Z）轴上，因此它垂直于dt _ 0，因此等式（5）可以写为: ×+× =. （6）等式（6）等号左侧的两项的总和是质量点i的合力矩，等号右侧是惯性矩（1）和角加速度点i到轴OZ的距离. 的产品.

公式（6）表明，粒子i的合成力矩等于其旋转惯量和角加速度的乘积. 对于所有其他粒子，列出与方程式（6j）类似的方程式，并将所有这些方程式加在一起得出: ×. Private = E，m，rt在方程式等号左侧的第一项是作用于外部的矩刚体的向量总和是外力的总力矩；项f∑×∽l是刚体中所有粒子经历的内部矩的向量总和，因为内力是相互作用力在刚体中的粒子之间，内部力总是成对出现的. 似乎每个内部力的大小相等，方向相反，并且H作用在同一条线上，因此所有内部力的矢量和为轴扭矩等于零.∑×''= o，则等式（7）可写为: ×㈦=: （. ）考虑到刚体是不变质点系统，角加速度（）所准备的质量点与oz的坐标之和是相同的，并且（dcb，）也是角加速度刚体的位置，因此（）可以作为〜-E #b的总和，并删除页脚i，得到: ×: （等式中刚体相对于OZ轴的惯性矩，』 l a'i然后上述公式可以写成=由I表示；用∑×'表示; j参考文献[1]表示. 顾建中主编. 力学课程. 人民教育出版社，1961年. 7.第一版[2]程守柱，蒋志勇主编. 普通物理学第一卷. 人民教育出版社，1978 [31哈尔滨工业大学理论力学系主编. 理论力学（第2部分）. 人民教育出版社，1982（营口职业学院主编: 曲庆伟）韦普信息

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