因式分解的因素-不确定系数法

“因素”，单手

这里，我们主要讨论整数系数的四次多项式. 根据高斯引理，如果可以将整数多项式分解为两个有理系数的乘积，则必须将其分解为两个整数系数的乘积. 因此，我们直接考虑是否存在整数因子.

\ [x ^ 4 + x ^ 3 + 2x ^ 2-x + 3 =（x ^ 2 + ax + b）（x ^ 2 + cx + d）. \]

其中\（a，b，c，d \）都是整数. [2015.5.8注意: 原始公式错误，已被修改. ）

比较两侧对应项的系数和常数项，可用

\ [a + c = 1 \ quad b + d + ac = 2 \ quad bc + ad = -1 \ quad bd = 3 \]

这类方程式通常不容易求解. 但是我们在这里有一个优势: 所有数字都是整数！首先从最后一个方程式开始，然后倒退以创建联立方程式. 最后，可以得到分解

\ [x ^ 4 + x ^ 3 + 2x ^ 2-x + 3 =（x ^ 2-x +1）（x ^ 2 + 2x + 3）. \]

这里要注意的一件事是，初始\（bd = 3 \）可以得到两组解. 如果一组解可以导出分解，则由于分解是唯一的，因此不再需要考虑另一组解的情况. （这里没有提到复数的知识. ）

再看一个例子:

\ [2x ^ 4-x ^ 3 + 6x ^ 2-x + 6 =（2x ^ 2 + ax + b）（x ^ 2 + cx + d）. \]

比较两侧的系数和常数项

\ [2c + a = -1，\ quad 2d + b + ac = 6，\ quad ad + bc = -1，\ quad bd = 6 \]

从最后一个表达式中，我们可以获得\（8 \）组\（b因式分解 待定系数法因式分解 待定系数法，d \）的值. 经过实验，发现\（b = 3 \），\（d = 2 \）可以导出分解

\ [x ^ 4-x ^ 3 + 6x ^ 2-x + 6 =（2x ^ 2 + x + 3）（x ^ 2-x + 2）. \]

根据之前的提醒，无需讨论其余情况.

实际上，交叉乘法是此方法的特例，但相对简单. 待定系数法是一种非常基本的方法，具有广泛的应用范围. 这是一个方程式的想法，首先被称为未知，然后反向求解.

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