哈夫曼树 c语言_哈夫曼树的构造c语言_switch语句举例

1．哈夫曼树的基本概念

最优二叉树，也称哈夫曼（Haffman）树，是指对于一组带有确定权值的叶结点，构造的具有最小带权路径长度的二叉树。

那么什么是二叉树的带权路径长度呢？

在前面我们介绍过路径和结点的路径长度的概念，而二叉树的路径长度则是指由根结点到所有叶结点的路径长度之和。如果二叉树中的叶结点都具有一定的权值，则可将这一概念加以推广。设二叉树具有n 个带权值的叶结点，那么从根结点到各个叶结点的路径长度与相应结点权值的乘积之和叫做二叉树的带权路径长度，记为：

其中Wk 为第k 个叶结点的权值，Lk 为第k 个叶结点的路径长度。如图6.16 所示的二叉树，它的带权路径长度值WPL＝2×2＋4×2＋5×2＋3×2＝28。

在给定一组具有确定权值的叶结点，可以构造出不同的带权二叉树。例如，给出4 个叶结点，设其权值分别为1，3，5，7，我们可以构造出形状不同的多个二叉树。这些形状不同的二叉树的带权路径长度将各不相同。

这五棵树的带权路径长度分别为：

（a）WPL＝1×2＋3×2＋5×2＋7×2＝32

（b）WPL＝1×3＋3×3＋5×2＋7×1＝29

（c）WPL＝1×2＋3×3＋5×3＋7×1＝33

（d）WPL＝7×3＋5×3＋3×2＋1×1＝43

（e）WPL＝7×1＋5×2＋3×3＋1×3＝29

由此可见，由相同权值的一组叶子结点所构成的二叉树有不同的形态和不同的带权路径长度，那么如何找到带权路径长度最小的二叉树（即哈夫曼树）呢？根据哈夫曼树的定义，一棵二叉树要使其WPL 值最小，必须使权值越大的叶结点越靠近根结点，而权值越小的叶结点越远离根结点。哈夫曼（Haffman）依据这一特点提出了一种方法，这种方法的基本思想是：

（1）由给定的n 个权值{W1，W2，…，Wn}构造n 棵只有一个叶结点的二叉树，从而得到一个二叉树的集合F＝{T1，T2，…，Tn}；

（2）在F 中选取根结点的权值最小和次小的两棵二叉树作为左、右子树构造一棵新的二叉树，这棵新的二叉树根结点的权值为其左、右子树根结点权值之和；

（3）在集合F 中删除作为左、右子树的两棵二叉树，并将新建立的二叉树加入到集合F 中；

（4）重复（2）（3）两步，当F 中只剩下一棵二叉树时，这棵二叉树便是所要建立的哈夫曼树。

图6.18 给出了前面提到的叶结点权值集合为W＝{1，3，5，7}的哈夫曼树的构造过程。可以计算出其带权路径长度为29，由此可见，对于同一组给定叶结点所构造的哈夫曼树，树的形状可能不同，但带权路径长度值是相同的，一定是最小的。 2．哈夫曼树的构造算法

在构造哈夫曼树时，可以设置一个结构数组HuffNode 保存哈夫曼树中各结点的信息，根据二叉树的性质可知，具有n 个叶子结点的哈夫曼树共有2n－1 个结点，所以数组HuffNode 的大小设置为2n－1，数组元素的结构形式如下：其中，weight 域保存结点的权值，lchild 和rchild 域分别保存该结点的左、右孩子结点在数组HuffNode 中的序号，从而建立起结点之间的关系。为了判定一个结点是否已加入到要建立的哈夫曼树中，可通过parent 域的值来确定。初始时parent 的值为－1，当结点加入到树中时，该结点parent 的值为其双亲结点在数组HuffNode 中的序号，就不会是－1 了。

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