二叉搜索树/二叉搜索号/有序二叉树/排序二叉树的数据结构

二叉搜索树（英语: Binary Search Tree），也称为二叉搜索树，有序二叉树（英语: 有序二叉树），排序二叉树（英语: 有序二叉树），指的是空树或Binary具有以下属性的树:

如果任何节点的左子树都不为空，则左子树上所有节点的值小于其根节点的值；如果任何节点的右子树不为空，则该右子树上的所有节点点的值大于其根节点的值；任何节点的左右子树也是二叉搜索树；没有节点具有相等的键值.

与其他数据结构相比，二叉搜索树的优势在于搜索和插入的时间复杂度低（log n）.

二进制搜索树是一种基本的数据结构，用于构造更多抽象的数据结构，例如集合，多集和关联数组.

二叉搜索树的搜索过程类似于次优二叉树，并且通常使用二叉链表作为二叉搜索树的存储结构. 以中间顺序遍历二叉搜索树可以获得关键字的有序序列. 通过构建二进制搜索树，可以将无序序列转换为有序序列. 构造树的过程是搜索无序序列过程. 插入的每个新节点都是二叉搜索树中的一个新叶节点. 插入时，无需移动其他节点，只需将节点的指针从空更改为非空即可. 可以.

搜索，插入和删除的复杂度等于树的高度. 期望

，最糟糕的

（顺序是有序的，树退化为线性表）.

虽然二叉搜索树的最差效率为O（n），但它支持动态查询，并且有很多改进的版本可以使树高变为

，例如SBT，AVL树，红黑树等.

这是一种很好的动态搜索方法.

C ++ STL中的集合使用红黑树作为存储结构（ps: hash_set使用hash_table作为存储结构）

在二分搜索树b中查找x的过程是:

如果b为空树，则搜索失败，否则: 如果x等于b的根节点的数据字段的值，则搜索成功；否则: 如果x小于b的根节点的数据字段的值，则搜索保留在Subtree中；否则: 找到合适的子树.

 1 /* 以下代码为C++写成，下同*/
 2 Status SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree &p){
 3   //在根指针T所指二元查找樹中递归地查找其關键字等於key的數據元素，若查找成功，
 4   //則指针p指向該數據元素節點，并返回TRUE，否則指针指向查找路徑上訪問的最後
 5   //一個節點并返回FALSE，指针f指向T的雙親，其初始调用值為NULL
 6   if(!T) { //查找不成功
 7     p=f;
 8     return false;
 9   }
10   else if (key == T->data.key) { //查找成功
11     p=T;
12     return true;
13   }
14   else if (key < T->data.key) //在左子樹中繼續查找
15     return SearchBST(T->lchild, key, T, p);
16   else //在右子樹中繼續查找
17     return SearchBST(T->rchild, key, T, p);
18 }

一种将节点s插入二叉搜索树b的算法，过程是:

如果b是一个空树，则插入s指向的节点作为根节点，否则: 如果s-> data等于b的根节点的data字段的值，则返回，否则: if s-> data少b的根节点的data字段的值将s指向的节点插入左子树，否则: 将s指向的节点插入右子树. （新插入的节点始终是叶节点）

 1 /*当二元搜尋樹T中不存在关键字等于e.key的数据元素时，插入e并返回TRUE，否则返回FALSE*/
 2 Status InsertBST(BiTree *T, ElemType e){  
 3       if(!T)  
 4         {        
 5             s = new BiTNode;
 6             s->data = e; s->lchild = s->rchild = NULL;
 7             T=s;    //被插節点*s为新的根结点
 8         }
 9       else if(e.key == p->data.key)
10         return false;//关键字等于e.key的数据元素，返回錯誤
11       if (e.key < p->data.key)
12     InsertBST(p->lchild, e);    //將e插入左子樹
13       else 
14     InsertBST(p->rchild, e);    //將e插入右子樹
15       return true;
16  }

DeleteBST

在以下三种情况下讨论了在二叉搜索树中删除节点的情况:

如果* p节点是叶节点数据结构二叉排序树，则PL（左子树）和PR（右子树）都是空树. 由于删除叶节点不会破坏整个树的结构，因此只需要修改其父节点的指针. 如果* p节点仅具有左子树PL或右子树PR，则只需使PL或PR直接成为其父节点* f（当* p是左子树时）或右子树（当*时）的左子树即可. p是右边的子树），并且此修改不会破坏二进制搜索树的特征. * p节点的左右子树不为空. 删除* p后，为了保持其他元素之间的相对位置不变，可以根据遍历的顺序进行调整以保持顺序，有两种方法: 一种是使* p * f的左子树成为Left / right（取决于* p是* f的左还是右子树）子树，* s是* p左子树的最右节点数据结构二叉排序树，* p是* s的右子树，第二个子树的右子树；第二种方法是将* p的直接前任（有序前任）或直接后继（有序后任）替换* p，然后删除其直接前任（或直接后任）.

在二叉搜索树中删除节点的算法如下:

 1 Status DeleteBST(BiTree *T, KeyType key){
 2   //若二叉查找树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素，并返回
 3   //TRUE；否则返回FALSE
 4   if(!T) 
 5     return false;    //不存在关键字等于key的数据元素
 6   else{
 7     if(key == T->data.key) {     //  找到关键字等于key的数据元素
 8       return Delete(T);
 9     }
10     else if(key < T->data.key)
11       return DeleteBST(T->lchild, key);
12     else
13       return DeleteBST(T->rchild, key);
14   }
15 }
16 
17 Status Delete(BiTree *p){
18   //该节点为叶子节点，直接删除
19   BiTree *q, *s;
20   if (!p->rchild && !p->lchild)
21   {
22       delete p;
23       p = NULL;
24   }
25   else if(!p->rchild){    //右子树空则只需重接它的左子树
26     q=p->lchild;
27     p->data = p->lchild->data;
28     p->lchild=p->lchild->lchild;
29     p->rchild=p->lchild->rchild;
30 
31     delete q;
32   }
33   else if(!p->lchild){    //左子树空只需重接它的右子树
34     q=p->rchild;
35     p->data = p->rchild->data;
36     p->lchild=p->rchild->lchild;
37     p->rchild=p->rchild->rchild;
38 
39     delete q;  }
40   else{    //左右子树均不空
41     q=p; 
42     s=p->lchild;
43     while(s->rchild){ 
44       q=s; 
45       s=s->rchild;
46     }    //转左，然后向右到尽头
47     p->data = s->data;    //s指向被删结点的“前驱”
48     if(q!=p)    
49       q->rchild = s->lchild;    //重接*q的右子树
50     else 
51       q->lchild = s->lchild;    //重接*q的左子树
52     delete s;
53   }
54   return true;
55 }

Python版本

binary_tree_delete

 1 def find_min(self):   # Gets minimum node (leftmost leaf) in a subtree
 2     current_node = self
 3     while current_node.left_child:
 4         current_node = current_node.left_child
 5     return current_node
 6 
 7 def replace_node_in_parent(self, new_value=None):
 8     if self.parent:
 9         if self == self.parent.left_child:
10             self.parent.left_child = new_value
11         else:
12             self.parent.right_child = new_value
13     if new_value:
14         new_value.parent = self.parent
15 
16 def binary_tree_delete(self, key):
17     if key < self.key:
18         self.left_child.binary_tree_delete(key)
19     elif key > self.key:
20         self.right_child.binary_tree_delete(key)
21     else: # delete the key here
22         if self.left_child and self.right_child: # if both children are present
23             successor = self.right_child.find_min()
24             self.key = successor.key
25             successor.binary_tree_delete(successor.key)
26         elif self.left_child:   # if the node has only a *left* child
27             self.replace_node_in_parent(self.left_child)
28         elif self.right_child:  # if the node has only a *right* child
29             self.replace_node_in_parent(self.right_child)
30         else: # this node has no children
31             self.replace_node_in_parent(None)

按顺序遍历

1 def traverse_binary_tree(node, callback):
2     if node is None:
3         return
4     traverse_binary_tree(node.leftChild, callback)
5     callback(node.value)
6     traverse_binary_tree(node.rightChild, callback)

构造一个二进制排序树（）

 1 def build_binary_tree(values):
 2     tree = None
 3     for v in values:
 4         tree = binary_tree_insert(tree, v)
 5     return tree
 6 
 7 def get_inorder_traversal(root):
 8     '''
 9     Returns a list containing all the values in the tree, starting at *root*.
10     Traverses the tree in-order(leftChild, root, rightChild).
11     '''
12     result = []
13     traverse_binary_tree(root, lambda element: result.append(element))
14     return result

每个节点的

是此节点的层数. 最坏的情况是，对插入的关键字进行排序后，形成的二叉搜索树将变成深度为

的单个分支树.

，平均搜索长度为

（与顺序搜索相同），最好的情况是二分搜索树的形状与半搜索的决策树相同，平均搜索长度为

比例（

）.

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