第2章关系关系是数学中的基本概念. 关系反映了集合中元素之间的相互联系.

第2章关系关系是数学中的基本概念. 关系反映了集合中元素之间的相互联系. 它在计算机科学的许多领域都有很好的应用，例如数据结构和. 要点1.关系的表示. 三种注意不同表示形式的优缺点. 2.关系操作，尤其是复合和关闭以及它们之间的关系. 3.关系的性质. 判断方法和操作对其的影响. 4.部分顺序关系和特殊元素的Haas绘制方法5.等价关系和划分关系的基本概念关键关系的定义是现实世界中最常用的词汇，例如“父子”关系“同学”程序之间的关系. 因此，深入研究关系的概念和性质对数学和计算机科学非常有益. 为了介绍关系的概念，让我们首先来看一个简单的例子. 每个房间可容纳2人，因此这家酒店可容纳6人. 假设有6名乘客fedcba. 让我们看一下“某个乘客住在某个房间”的关系. 让我们称这种关系为R. 图1显示了三个房间和六个乘客之间的关系R. 如果乘客x居住在房间i中，则将其记录为xRi，即xRi表示x与i相关. 根据上图，我们可以列出乘客与房间1fReRdRcRbRaR之间的所有关系. 从以上关系，我们可以总结出以下几点. 满足R的关系xRi可以看作是序列对ix. fedcbaR是笛卡尔乘积BA的子集. fedcbaA之上的关系称为二进制关系，因为它仅涉及两个对象之间的关系.

实际上，在现实世界中存在多个对象之间的关系，即复数关系，但是在所有关系中，二元关系才是最重要的. 下面我们主要讨论二进制关系. 定义2从集合A到集合B的关系R是指BA的子集. 从集合A到A的关系称为集合A的关系. 教科书15中关于集合M的关系的定义不正确. 这是一个非常特殊的关系. 令R为从集合A到集合B的关系. 如果Ryx，则表示为xRy，否则为xRy. 必须注意，对于给定的集合A到集合B，关系中的元素是有序对的二进制关系R. RyxxRD关系中的第一个对象集在将来被称为二进制对象R. 定义和值范围. 根据定义2，令R为从集合A到集合B的关系. 这表明R可以看作是集合BA上的关系. 因此，将来我们将主要讨论特定集合上的关系. 在集合A和集合B之间的关系中有两个特殊关系，这是BA的子集. 前者表示A中的每个元素与B的每个元素都有关系，而后者则表示A中的每个元素与B的每个元素都没有关系. 此后，它们将被称为A中的完全和空关系到B. “该关系可以定义为xyxyIxy，因此可除性关系在正整数集上定义”. “如下xyxyIxy该关系在计算机科学中无处不在. 例如，数据结构中有许多类型的数据，其中大型软件中数据之间的逻辑关系可以使用此处的关系来描述和讨论子程序之间的逻辑关系.

定义2将由集合nXXX21确定的n元关系定义为nXXX21的子集. 关系的图形表示和矩阵表示的情况1 21nxxxX21myyyY R的图形表示构成有向图. EYXGR使用点或小圆圈表示X或Y中的元素. ix要jy绘制有向边Eyxji且仅当jiRyx时. 当且仅当jiRyx时，R的矩阵表示才构造mn矩阵ijRmM ijm. 根据以上定义，关系R和有向图形成一一对应. R和mn矩阵也形成一一对应关系. 将来，上述图和矩阵将被称为X与Y关系R图和关系矩阵. 案例2在21nxxxX上的关系. R的图形表示构造有向图EXGR使用点或小圆圈表示Xix到jx中的元素. 当且仅当jiRxx时才绘制有向边Exxji. 当且仅当jiRxx时，R的矩阵表示才构造nn矩阵ijRmM ijm. 根据以上定义，关系R和有向图形成一一对应. R和nn ABabcd之间的关系定义了关系Rabacdd. 关系的关系图和关系矩阵为111002100130001RM AR. 关系图和关系矩阵为11110200013100040010RM. 注2: 对于有限集在关系方面，现在有三种表示关系的方法: 集合表示定义，关系图表示和关系矩阵表示.

关系图表示直观且易于分析. 关系矩阵表示便于计算机存储和定量计算. 在这两种表示形式下，可以轻松研究关系的许多属性和计算. 它们是我们将来用来表达关系的常用方法. 注意某些特殊关系的关系图和关系矩阵的特征. 例如，当且仅当RG不具有有向边RM时，21nxxxX上的关系R为空关系. 当且仅当RG是全一矩阵时，且仅当RG的任意对有序点对具有有向边时，R才是总关系. 有6个程序621ppp. 它们之间的调用关系R如下: 136225544321RppRppRppRppRppRppRpp给出它们的三种表示形式. 自学R是集合621pppP上的关系. 它的集表示为136225544321ppppppppppppR 010000000001100100000010010000000000RM注意稍后，可以通过此关系来解决程序是否死锁或是否递归调用程序. 集合YXnYmX询问从X到Y有多少个不同的二元关系. 4P 1P 2P 3P 5P 6P关系的操作重点关系的一般操作关系是一个集合，因此该集合的所有运算也适用于该关系. 也就是说，如果R和S都是集合X和集合Y之间的二进制关系，则R和S的并集，交点，补码等仍然是集合X和Y之间的二进制关系，并且具有集合操作的规则.

2IyxRyx3IyxSyx DRSDSR RSM RSG令R和S为集合X到Y的二进制关系. 询问SR SR的定义和值范围等. DRSDRDSDRSDRDS如果知道R和S之间的关系以及关系矩阵，如何关系图和关系矩阵ijRmMijSsM ijijSRsmM，其中加法为逻辑加法ijijSRsmM RijMm，SR和SR的关系图为R和S的关系图. 取所有边的复合关系和公共边缘. 如果x和y是父子关系，则y和z是父子关系. 关系x和z将是新的关系，即孙子孙之间的关系. 这种新的关系显然可以从以上两个关系中得出. 定义2: R和S的复合关系SR定义为存在RSxzxXzZyYxRyySz，并且它是从X到Z的关系. 从关系R和S找到复合关系SR的过程称为该关系的复合运算. 注释2 21nxxxX21myyyY 21pzzzZ合成关系SR EZXGSR结构的关系图如下所示. 步骤1首先构造RG和SG. 步骤2如果从ix到jy有弧，从jy到kz有弧，则SRG中有从ix到kz弧. SRSRMMM根据布尔运算执行矩阵运算. 布尔运算的定义是布尔加法000 110 101 111布尔加法000 010 001 111记录证明mnikRmM pmkjSsM pnijSRaM pnijSRbMM mjimjijiijsmsmsmb2211 ni ijb当且仅当其一项为1时.

因此，在正常情况下关系 闭包是什么意思，SCSRCRDSRD研究该关系的复合运算与该关系的并行运算和交集运算之间的关系，即1ija具有k从而1ikkjms具有k使得1ikkjms具有k使得ikkjxRyySz ijxRSz复合运算对和交点是否满足分布定律SFRFSRF SFRFSRF定理2证明方法1首先，TSR TSR是X与U的关系. 其次，根据复合关系的定义，可以证明设定的TSR TSR相等. 方法2当两个XYZU都受限时，关系矩阵可用于证明以下内容. RSTRSTRSTRSTRSTRSTRSTRSTMMMMMMMMMMMM由于关系的复合运算满足组合律，因此在将来将多个关系复合时，可以省略表示运算顺序的括号，并可以定义关系的幂. X上的关系称为XxxxIX标识单元关系. 易于验证假设R是集合X上的关系，则R nR的幂被递归定义如下XIR 11RRRnnn是一个非负整数. 注意3只有集合X中的关系才能定义幂. 平方的幂具有以下运算法则nmnmRRR mnmnRR 21nxxxX关系. 注释2的1sRRRRRMMMMMs sRG结构如下. 请注意，121 sssRxyGxyRRRRyyyX使1122311121 ssRxyyyyyyRxyyyyyG通过s步骤达到yStep1来构建RG.

Step2为每个ni绘制nxxx 21 Step3在RG中找到距ix的距离为s的所有点，然后在step2中将ix的弧连接到此类点. 110011200100300011400001600000RM3110011200001300000400000600000RMRM有一个正整数st，因此tsRR对所有非负整数都有ktksRR k记住stq对正整数有skqsRR k对于任何非负整数m110 tmRRRR反映有限集上的关系的幂运算具有由定义的周期性compound任何正整数m mR是A上的关系关系 闭包是什么意思，以获得A上的关系的序列32RRR. 由于A上总共存在22n个关系，因此将重复上述序列，即存在一个正整数st，因此tsRR使用sksktktkRRRRRR定义的力量，显然是110 tmRRRR. 以下假设存在mt，并且存在一个非负整数ki，因此msqki为01iq. 显然是11sisqt. 因此，如果x是y的父亲，那么y是x的孩子则反映了另一个关系. 定义2 RyxxyR是R的逆关系. 从关系R中找到逆关系R的过程称为该关系的逆运算. 这是一元操作.

注释4 21nxxxX21myyyY 21pzzzZ R的关系图RG是使RG的每个圆弧反转. 显然，RCRDRCRD指出了SRSR R的逆关系. 根据逆关系和复合关系的定义，很容易证明以下结论. 定理2证明仅证明2 zxRSxzRSyYxyRyzS yxRzySzxSR注意，当A和B均受限制时，关系矩阵可用于证明定理2 1方法2 P34 Ex P55Ex 28关系的重要性质，关系表示方法，关系计算是不同的. 从本节到

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