常见数据结构之二叉树(2)

==================资料简介======================【知识要点】一、数列的通项公式如果数列的第项和项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即.不是每一个数列都有通项公式.不是每一个数列只有一个通项公式.二、数列的通项的常见求法：通项五法 1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据与项数的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明.2、公式法：若在已知数列中存在：的关系，可采用求等差数列、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项。则其积数列一定不构成等差数列，连同数列的通项公式及前n项和公式，最大值169/25a1基本量问题在等差(比)数列中，q=-1/2数列中的运算已知数列{an}和{bn}都是等比数列，如果两个等差数列均不是常数列，可求出＞-3例2：已知数列{an}为等差数列，类比：例4:已知数列{an}和{bn}都是等差数列，内容涉及到数列概念、等差数列和等比数列通项及求和、数学归纳法和数列极限等，我们可以研究两个等差数列的和数列仍为等差数列的条件，但{an·bn｝不一定成等差数列...。（2）猜测数列{}的通项公式，并用数学归纳法证明.【点评】（1）本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明.（2）归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格的证明，二是有时数列的通项并不好猜想.如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法.================================================压缩包内容：第36讲数列通项的求法一（归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法）-高中数学常见题型解法归纳反馈训练.doc。

  平衡二叉搜索树（Balanced Binary Tree）具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树

  AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为一，所以它也被称为高度平衡树。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O（log n）。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。AVL树得名于它的发明者 G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis，他们在 1962 年的论文 "An algorithm for the organization of information" 中发表了它。

AVL树特点：

  1. 本身首先是一棵二叉搜索树。

  2. 带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。

  节点的平衡因子是它的左子树的高度减去它的右子树的高度。带有平衡因子 1、0 或 -1 的节点被认为是平衡的。带有平衡因子 -2 或 2 的节点被认为是不平衡的，并需要重新平衡这个树。平衡因子可以直接存储在每个节点中，或从可能存储在节点中的子树高度计算出来。

AVL树操作

1.旋转

  AVL树的基本操作一般涉及运做同在不平衡的二叉查找树所运做的同样的算法。但是要进行预先或随后做一次或多次所谓的"AVL 旋转"。

  假设由于在二叉排序树上插入结点而失去平衡的最小子树根结点的指针为a（即a是离插入点最近，且平衡因子绝对值超过1的祖先结点），则失去平衡后进行进行的规律可归纳为下列四种情况：

供选择的答案： a：①是特殊的树②不是树的特殊形式③是两棵树的总称④是只有二个根结点的树形结构 b：①左子结点②右子结点③左子结点或者没有右子结点 ④兄弟 c～d： ①最左子结点②最右子结点③最邻近的右兄弟④最邻近的左兄弟⑤最左的兄弟⑥最右的兄弟e：①o(n)②o(n)③o(log2n)④o(log2n) 15、每一棵树都能唯一地转换为它所对应的二叉树，树的这种二叉树表示对树的运算带来很大的好处。二叉树是有序树，因为二叉树中每个孩子结点都确切定义为是该结点的左孩子结点还是右孩子结点。这里可能会有的一个问题是：b有左右两个子节点分别为d和e，为什么右旋的时候要将右子节点e拿到a的左子节点而不是b的左子节点d。

(2) 单向左旋平衡处理RR：由于在a的右子树根结点的右子树上插入结点，a的平衡因子由-1变为-2，致使以a为根的子树失去平衡，则需进行一次左旋转操作；

(3) 双向旋转（先左后右）平衡处理LR：由于在a的左子树根结点的右子树上插入结点，a的平衡因子由1增至2，致使以a为根的子树失去平衡，则需进行两次旋转（先左旋后右旋）操作。

供选择的答案： a：①是特殊的树②不是树的特殊形式③是两棵树的总称④是只有二个根结点的树形结构 b：①左子结点②右子结点③左子结点或者没有右子结点 ④兄弟 c～d： ①最左子结点②最右子结点③最邻近的右兄弟④最邻近的左兄弟⑤最左的兄弟⑥最右的兄弟e：①o(n)②o(n)③o(log2n)④o(log2n) 15、每一棵树都能唯一地转换为它所对应的二叉树，树的这种二叉树表示对树的运算带来很大的好是n在原树里对应结点的＿c＿，而n的右子女是它在原树里对应结点的＿d＿。

2.插入

8 查找结构：符号表，二叉查找树，二叉查找树的查找、插入和删除操作，avl树，高度平衡，ll, lr, rr, rl 旋转, 插入算法，时间复杂性分析，b树，m叉查找树，m叉查找树的查找，b树的定义和性质，b树的插入操作，b树的删除操作，静态散列，散列表，散列函数，溢出处理，开放寻址，链接。第8章 查找结构：符号表，二叉查找树，二叉查找树的查找、插入和删除操作，avl树，高度平衡，avl树的插入算法，avl树的时间复杂性分析，m叉查找树，m叉查找树的查找，b树的定义和性质，b树的插入操作，b树的删除操作，静态散列，散列表，散列函数，溢出处理。因为它们成为另一棵树的左子叶节点和右子叶节点，且该树的根是它们的频率之后（:11），根将被插入到优先级队列中，现在有两棵huffman树：。

  在平衡的的二叉排序树Balanced BST上插入一个新的数据元素e的递归算法可描述如下：

  若BBST为空树，则插入一个数据元素为e的新结点作为BBST的根结点，树的深度增1； 若e的关键字和BBST的根结点的关键字相等，则不进行； 若e的关键字小于BBST的根结点的关键字，而且在BBST的左子树中不存在和e有相同关键字的结点，则将e插入在BBST的左子树上，并且当插入之后的左子树深度增加（+1）时，分别就下列不同情况处理之：BBST的根结点的平衡因子为-1（右子树的深度大于左子树的深度，则将根结点的平衡因子更改为0，BBST的深度不变； BBST的根结点的平衡因子为0（左、右子树的深度相等）：则将根结点的平衡因子更改为1，BBST的深度增1； BBST的根结点的平衡因子为1（左子树的深度大于右子树的深度）：则若BBST的左子树根结点的平衡因子为1：则需进行单向右旋平衡处理，并且在右旋处理之后，将根结点和其右子树根结点的平衡因子更改为0二叉排序树 数据结构，树的深度不变； 若e的关键字大于BBST的根结点的关键字，而且在BBST的右子树中不存在和e有相同关键字的结点，则将e插入在BBST的右子树上，并且当插入之后的右子树深度增加（+1）时，分别就不同情况处理之。

删除

  从AVL树中删除可以通过把要删除的节点向下旋转成一个叶子节点，接着直接剪除这个叶子节点来完成。因为在旋转成叶子节点期间最多有 log n个节点被旋转，而每次 AVL 旋转耗费恒定的时间，删除处理在整体上耗费 O(log n) 时间。

查找

(4)b-树和b+树文件是实际系统中使用非常广泛的索引文件结构，适合于定义在大数据量基本表上、基于查找码的等值查询等。但是，查询缓存在一个交易系统(数据变更频繁，查询条件相同的机率并不大)中可能会起反作用:它会白白耗费大量的系统资源但却难以派上用场。而在b+树中，顺序检索比较明显，随机检索时，任何关键字的查找都必须走一条从根节点到叶节点的路，所有关键字的查找路径长度相同，导致每一个关键字的查询效率相当。

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