麦克斯韦速率分布函数

麦克斯韦速率分布函数及其简化形式1.麦克斯韦速率分布函数f（v）=4[m /（2kT）] 3 /2exp[mv2/ /（2kT）] v2 =4-1/ 2 [m /（2kT）] 3/2exp[mv2/（2kT）] v2.f（v）称为麦克斯韦速度分布函数，其中T是气体T为气体的热力学温度，m是气体的分子质量. 2.麦克斯韦速度分布函数速度分布函数的简化形式使vp =（2kT / m）1/2，x = v / vp. F（v）dv =41/ 2 [m /（2kT）] 3 /2exp[2mv2 / /（2kT）] v2dv =41/2vp-3exp（v2/ vp2） v2dv.f（v）dv =41/2x2exp（x2）dx = F（x）dx. 但要特别注意: F（x）=41/ 2x2exp（x2）f（v）. 第三，粒子运动中的速率分布函数模拟粒子运动数模拟时间分布函数模拟是物理研究中常用的逻辑推理方法. 当使用类比方法时，基于某些方面中两种类型的对象之间的相似性或相似性，这两种类型的对象在其他方面可以相似或相同. 为了描述处于平衡状态下的气体在不同速率区间内分子数目的分布，可以将分子速率v作为横坐标值，并绘制速率v与v的分子数目之比的直方图+v间隔N到分子总数N（条形图）.

条的水平宽度为v，条的面积为N/ N.因此，条的垂直高度（坐标值）为N/（Nv）坐标值）是N/（Nv）. 显然，此高度与钢筋所在位置的速度值有关，并且是v的函数. 为了更准确地描述气体分子的速度分布，设v0，然后是直方图的上边缘从折线变为平滑的连续曲线，然后是N/（Nv）dN /（Ndv），这当然仍然是比率v的函数，表示为f（v），即f（v ）= dN /（Ndv）. （1）和N/（Nv）这是分子数对速率的分布函数，或速率分布函数； （1）是费率分配函数； （1）的图像是速率分布曲线. f（v）表示每单位速率区间的平均分子数与dv区间周围速率v的分子总数之比. 有时为了简化说明而不会引起误解，通常将f（v ）代表速率v附近的单位速率区间中的分子数与分子总数的比率. 速率分布函数给出了气体分子数量与速率值分布的特定关系图. 与上述情况类似，与上述情况类似，在运动期间相同时间间隔内粒子行进的距离通常不相同. 为了描述粒子随时间推移的距离分布的特定图像，可以将时间作为横坐标值，将时间作为横坐标值，并以t到t +t距离S的直方图（条形图）.

绘制条的水平宽度为t，条的面积为S. 因此，棒的垂直高度（坐标值）为S/t，这是从t到S /t的质量点，它是从t到t +t区间中粒子的平均速度. 显然，此高度与钢筋所在的时间值有关，并且是t的函数. 为了更准确地描述粒子运动的时间分布，设t0，然后直方图的上边缘从折线变为平滑的连续曲线，再变为平滑的连续曲线，, S /tdS / dt，当然它仍然是时间t的函数，记为f（t），即f（t）= dS / dt. （2）和S/ Thist这是粒子在时间上传播的距离的分布函数，或称为时间分布函数；图像是时间分布曲线. （2）公式f（t）表示粒子在运动中在时间t附近的dt间隔中每单位时间间隔行进的平均距离. 有时，为了简化描述而不会引起误解，通常会说f（t）表示粒子在运动时间t周围的单位时间间隔内的行进距离. 时间分布函数给出了粒子随时间推移相对于时间的分布的特定图像. 可以看出，f（t）实际上是时间t处粒子运动的瞬时速率，因此f（t）-t的时间分布曲线恰好是力学中众所周知的速率-时间曲线.

f（）通过以上讨论，我们可以看到热力学中的速度分布曲线与力学中粒子运动的速度-时间曲线之间存在非常相似的情况. 因此，如果您学习热科学中的速率分布函数，或类比力学中的速率-时间函数二维麦克斯韦分布函数，则可以轻松理解其物理含义. 不仅如此，将f（t）与f（v）进行类比还有助于正确理解“为什么不应该问多少个分子的速度恰好等于特定值v？多少个分子等于特定值v？实际上，没有这样的分子. “之前已经指出，在t附近的tt间隔内粒子的平均运动速率为S/t，而在dt间隔内的平均运动速率（即t时刻的瞬时矩为该速率）是dS / dt. 但是我们不应该问粒子在时间t横越了多少距离，因为粒子仅在特定时间间隔后横过了一定距离. 粒子在时间t经过了多远只能说它经过的距离等于零，考虑到这种情况，我们可以使用f（v）来比较f（t）. 由于f（v）代表速率v附近的dv间隔，因此每单位速率间隔的平均分子数与分子总数之比，​​那么我们也不应该问其速率正好等于特定值v的分子数目与分子总数之比是多少，因为此时速率间隔等于零;如果必要，则速率间隔等于零；如果有必要问一个比率恰好等于v的分子的个数与分子总数之比是多少，那么只能说这个比率等于零.

似乎热力学中的速度分布函数与力学中的速度-时间函数之间的类比（即，运动中的粒子到时间的行进距离的分布函数）确实有助于正确地理解和掌握速度分布函数的概念应收到良好的效果. 应当指出，类比推理是一种概率推理方法. 当然，通过类比推理得出的结论是正确的还是错误的. 当然，必须通过实践对其进行测试和证明. 未经测试和证明的类比推理只是合理的推测. 当然必须. 但是，在介绍已经在物理教学中经过测试和证明的科学知识时，直接使用类比推理是有益的. 我们应该通过一些例子来掌握这种有效的逻辑推理方法. 4.随机事件和概率随机现象: 可能有多种结果. 随机事件: 随机现象的每次表演或结果. 频率: 事件发生次数与总次数的比率. 概率: 总次数趋于无穷大时事件发生频率的极限. 不可能发生的事件的可能性为零. 不可避免的事件的可能性为一. 概率加法则: 发生相互不兼容（相互排斥）的事件的概率之和等于其中任何一个发生的概率. 概率乘法定理: 相互独立的事件同时发生的概率等于每次发生的概率等于每个事件独立发生时的概率乘积. 第五，麦克斯韦速度分布曲线的最大值出现的点的轨迹. . 将vp =（2kT / m）1/2代入f（v）得到: f（vp）=41/ 2 / [m /（2kT）] 3 /2exp[mvp2/ /（2kT） ] vp2 =41/ 2exp [vp2-2] vp-3 + 2 =41/2e1vp-1. 由此我们可以得到: vpf（vp）=41/ 2e1=常数=常数.

这是一个双曲方程. 使用麦克斯韦速率分布函数的简化形式来查找速率分布曲线的最大值出现点的轨迹似乎更简单. x = v / vp，dx / dv = 1 / vp. f（v）= F（x）dx / dv = F（x）/ vp =41/2x2exp（x2）/vp.f（vp）= F（1）/ vp =4 1 /2e1/ vp. 即，vpf（vp）=41/ 2e-1 pp =常数. 这是一个双曲方程. 6.如果误差函数erf（x）中的气体分子总数为N，应如何从0到给定值v计算分子数量N0〜v？此时，需要误差函数erf（x）. N0〜v =0vNf（v）dv =N0=N0exp（x2）x2dx=21/2N0xF（x）dxx41/ 2xexp（x2） 2x2dx=21/2N0xexp（x2）xdx2=21/2N0xxd[exp（x2）] =21/ 2N [xexp（x2 ）| 0x +0xexp（x2）dx] = N [21/2xexp（x2）+21/20xexp（x2）dx]. 定义误差函数erf（x）是erf（x）=21/20xexp（x2）dx，则以上结果可表示为N0〜v = N（erf（x）2 1/2xexp（x2）]. 这个公式也可以转换成N0〜v / N = erf（x）21/2xexp（x2）. 对于erf（ x），请参阅教科书“功能摘要表”第104页上的“附录3-2错误”.

王竹溪的《统计物理学概论》的附录3是更详细的“误差函数表”. 如果将erf（x）中的exp（x2）扩展为幂级数，然后逐项积分，则可以获得足够准确的值，但是计算出的值是可比较的，但计算起来比较麻烦. 例如，如果要要求erf（1）0.84270，则必须采用至少10个电源系列. 当x很大时，可以使用教科书第105页中给出的渐近展开进行计算，但要注意公式中的（x）1/2是错误的，应将其更改为1/ 2x，然后计算. 七，在计算分子通量的公式中应将通量公式应用于类比类比的例子类比是科学研究中常用的逻辑推理方法. 当使用类比方法时，基于两种类型的对象之间在某些方面的相似性或相似性，可以得出结论，它们在其他方面也可以相似或相同. 实际上，对于物理学中的某些现象，描述它们的数学表达式有时可能非常相似. 此时，将类推推理方法应用于类推推理方法通常可以绕过复杂的，有时是麻烦的数学计算步骤. 更快地获得清晰的物理结果. 通常，玻尔兹曼常数为k，气体的热力学温度为T，分子质量为m. 根据平衡状态下速度分布的麦克斯韦定律，在平衡状态下，气体分子速度分量vx vx）的分布函数f为f（vx）= [m /（2kT）] 1 /2exp [mvx2/（2kT）]. （1）气体分子速度因此，速度分量vx取值从vx到vx + dvx间隔中的气体分子数与分子总数之比为f（vx）dvx. 如果气体分子的密度为n，则速度分量vx将vx的值设为vx + dvx间隔. 区域墙的碰撞次数将等于nvxf（vx）dvx [1].

将nvxf（vx）dvx积分在从0到the的间隔中，您可以获得每单位时间J相对于单位面积壁的所有速度的所有气体分子的碰撞次数（即分子通量）J Is J = 0nvxf（vx）dvx =0n[m /（2kT）] 1 / 2vxexp[mvx2/ /（2kT）] dvx = n [kT /（2m）] 1/2 . （2）根据麦克斯韦速率分布定律，在平衡状态下，气体分子速度v的分布函数f（v）是子速率v的分布函数f（v）. F（v）=4[m /（2kT）] 3 /2v2exp[mv2/ /（2kT）]. （3）由式（3）可知，气​​体分子的平均速度u为u =0=0exp[mv2 /（2kT）] dv = [8kT /（m）] 1/2. （4）formulavf（v）dv4[m /（2kT）] 3 / 2v3使用公式（4）（2）可转换为J =（n / 4）uJ（n / 4） u =（n / 4）0=0vf（v）dv（n / 4）vf（v）dv. （5）从等式（2）和（5），00nvxf（vx）dvxJnvf（v）dv = J =0（n / 4）vf（v）dv. （6）在上式（2）的推导过程中，nvxf（vx）dvx表示速度分量为vx的气体分子在vx到vx + dvx的间隔中，单位时间每单位面积每单位面积分子每单位面积每单位时间通过将nvxf（vx）dvx积分在从0到integrating的间隔中，可以得到分子通量J. 从方程（6），我们可以看到: 碰撞中的积分nvxf在两个积分中等式（vx）dvx和（n / 4）vf（v）dv具有相同的状态，并且它们的物理含义相似，因此可以在两者之间进行类比推理.

现在，将（n / 4）vf（v）dv积分在0至的范围内，还可以获得分子通量J. 可以看出，（n / 4）vf（v）dv表示速率为. 在单位时间内，在v到v + dv区间内的气体分子与单位面积壁的碰撞次数. 因此，处理某些相关问题有时会更简单. 例如，如果需要计算单位时间内单位时间内速度大于任何给定值v的气体分子与单位面积和单位壁在单位时间内的碰撞次数（即速度为大于任何给定值v（分子通量）Jv〜，首先需要得出单位时间内间隔v到v + dv间隔内的气体分子比率，每单位面积壁的碰撞次数等于（n / 4 ）vf（v）dv有许多相关的推导步骤，但是如果将（n / 4）vf（v）dv与nvxf（vx）dvx进行比较，则无需逐步推论，您可以直接写下（n / 4）vf（v）dv，以比率为单位时间，在v到v + dv的区间内，气体分子在单位时间内碰撞到单位面积壁上的碰撞次数，但只需要对其进行积分在从v到的区间内，并将其在从v到interval的区间内积分. Just（n / 4）vf（v）dv. （7）Jv〜=v将方程式（3）代入方程式（7），哟您可以得到Jv〜=v[m /（2kT）] 3 /2v3exp[mv2/ /（2kT）] dv = n [kT /（2m）] 1 /2{1 + [mv2 /（2kT）]}exp[mv2 /（2kT）]. （8）（n / 4）4作为另一个示例，可以推导出由分子外排现象产生的分子束（分子射线）中气体分子的比速度分布函数fb（v）. 表格b.

实际上，由分子渗出属蒸气）存储在容器中，则在满足存在分子渗出的条件时（该气体分子的平均自由程非常大），将容器抽真空至高真空气体分子可以从小孔中逸出并形成分子束. 尽管作为分子源的容器中的气体分子服从麦克斯韦速率分布定律，但是速率分布函数可以用（3）表示. 但是，分子束中的气体分子的速度分布函数fb（v）不能用等式（3）表示. fb（v）的具体形式可以通过以下方法得出. 由于通过将（n / 4）vf（v）dv与nvxf（vx）dvx进行比较，我们可以知道（n / 4）vf（v）dv是v和v + dv之间的比率值. 在v到v + dv的时间间隔内，气体分子在单位时间内与单位区域壁碰撞的次数. 如果容器壁上小孔的面积为dS，则分子源中的速度范围为v至v. 在dv间隔内单位时间内从小孔逸出的气体分子数应为（ n / 4）vf（v）dvdS. 然而，根据公式（5），可以看出分子源中气体的各种速率. 单位时间内从小孔逸出的分子数量应为（n / 4）udS. 因此，根据速率分布函数的定义，我们可以得到: 分子束中的速度在v到v + dv的区间内. 气体分子数与分子总数dNv〜v +的比值dv / N应为dNv〜v + dv / N = fb（v）dv = [（n / 4）vf（v）dvdS] / [（n / 4）udS] =（v / u）f（v） dv. （9）然后，从公式（9）二维麦克斯韦分布函数，（3）和（4），f（v）= vf（v）/ ufb（v）vf（v）/ u = 2 [m /（2kT）]2v3 exp [mv2/（2kT）]. 公式（10）（10）有时称为Maxwell（Maxwelltransmissiondistribut）离子[3].

如果平衡中最有可能的气体分子速率为vp，因为vp =（2kT / m）1/2，因此在引入无量纲的量x = v / vp之后，还可以更改pfb（v）dv为还原为由x表示的简化形式Fb（x）dx. 由此可以得出Fb（x）= fb（v）dv / dx =2x3exp（x2）. （11）使用（11）或等式（10），可以得到分子束中气体分子的最可能速率vb.p和平均速率ub为vb.p =（3kT / m）1/2， ub = [9kT/（8m）] 1/2. （13）p（12）

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