§2.4详细的麦克斯韦速度分布.ppt

§2.4麦克斯韦速度分布前面已经指出，麦克斯韦首先导出速度分布，然后从速度分布中获得速度分布. 麦克斯韦速度分布在本节中描述. 为了解释速度分布的含义，首先介绍速度空间的概念. §2.4.1速度空间1.速度向量，速度空间中的代表点（1）为了描述气体分子的速度和方向，速度向量需要引入速度向量的概念. 速度矢量的方向和大小恰好在此刻. 分子速度的大小和方向相同. 一个分子只有一个速度向量. （1）速度空间中的代表点分子速度矢量沿x，y和z方向的投影vx，vy和vz绘制为直角坐标. 所有分子速度矢量的起点都转换为原点O. 平移时，矢量的大小和方向都不变. 翻译后，矢量由箭头的端点表示，并且矢量符号被删除. 这些点称为代表点. 这在图中显示为点P. 直角坐标表示的速度空间是指以速度分量vx，vy，vz为坐标轴，从原点到代表点绘制的矢量来表示分子速度的方向和大小的速度空间. 速度空间是人们想象中的空间坐标. 描述的不是分子的空间位置，而是速度的大小和方向. 第二，速度空间中代表点的分布如果在瞬间将与所有分子相对应的速度矢量的代表点标记在速度空间中，则会形成速度空间中代表点的分布模式，如图速度空间代表点分布与目标点分布类似: 在图2.2（a）中，目标点在x到x + dx，y到y + dy范围内的概率由f（x ，y）dxdy，其中dxdy对于该面积，f（x，y）是黑点分布的概率密度.

（1）小立方体dvxdvydvz在速度空间中的概率是多少？在三维速度空间中，在vx到vx + dvx，vy到vy + dvy，vz到vz + dvz的间隔中，绘制一个体积作为dvxdvydvz的微分元素，如图所示. 计算该微分元素中代表点的数量dN（vx，vy，vz），并将其表示为dvxdvydvz小体积元素中代表点的相对密度. 我们可以找到这样的dN（vx，vy，vz）. 首先在速度空间中在厚度为dvx的无限平板中找到概率. 我们要求N个分子的速度x分量落在vx到vx + dvx的范围内. vy和vz中任意范围内的分子dN（vx）的个数是多少？ ，在速度空间中绘制一个垂直于vx轴的dvx厚度的无限板，如图所示. 如果该板上的典型点数是dN（vx），则dN（vx）/ N表示分子的速度为. vx到vx + dvx以及vy和vz的概率在任何范围内. 显然，这种可能性与板的厚度dvx成正比. 有dN（vx）/ N = f（vx）dvx. 分子x方向上速度分量的概率分布函数还可用于获得代表点dN（vy）和dN（分别在垂直于vy轴和vz轴的无限薄板上的vZ），然后dN（vy）/ N = f（vy）dvy dN（vz）/ N = f（vz）dvz分别表示速度分量在y和z方向上的概率分布函数.

根据平衡中气体分子混乱的假设，分子速度并非优先取向，因此f（vx），f（vy），f（vz）应该具有相同的形式. （2）在速度空间中，截面积为dvx dvy的无限长的方格的概率是多少？进一步问，分子速率在vx到vx + dvx之间，在vy到vy + dvy之间，而vz任意. 在此范围内，分子dN（vx，vy）的数目是多少？显然，这些分子的代表点都位于一个平行于vz轴且横截面积为dvx dvy的无限长的矩形条中. 因为分子落在垂直于dvx轴的板上的概率为f（vx）dvx，所以分子落在垂直于vy轴的板上的概率为f（vy）dvy. 根据相互独立的同时发生事件的概率相乘的原理，可以知道一个分子落入一个圆柱体的概率是代表点数dN（vx，vy）与该点的比率. 方筒中的分子总数（3）最后，分子速度分量为. 在vx到vx + dvx，vy到vy + dvy，vz到vz + dvz的概率是多少？只需制作另一个无限薄的平板，其厚度dvz垂直于图中的vz轴. dN（vx，vy，vz）/ N是所需的概率. 因为vx，vy，vz彼此独立，所以dN（Vx，vy，vz）/ N = f（vx）dvx·f（vy）dvy·f（vz）dvz显然，速度分布概率密度f（vx ，vy，vz）是分子根据速度的x，y，z方向上成分分布的概率密度f（vz），f（vy），f（vz）的乘积.

分子在速度空间中处于任何微小范围dvxdvydvz的概率是f（vx，vy，vz）和dvxdvydvz的乘积. §2.4.2麦克斯韦速度分布麦克斯韦首先使用概率统计得出理想气体分子的速度分布. 它可以表示为f（vx麦克斯韦速度 分布，vy，vz）dvxdvydvz =从vx到vx的所需分子速度的x分量+ dvx vy，vz内部的任何数量的分子dN（vx），这是垂直于速度空间中x轴的无限薄平板，可以通过对vy和vz进行积分获得: x方向上速度分量的概率分布曲线，如图所示: *§2.4.3速度相对于vp的组分分布和速度分布误差函数附录2-1中的定积分公​​式是从0到无穷大积分的，有时需要计算气体分子速度分量（或速度v）在a中的分子数或概率给定范围. 此时，可以将麦克斯韦速度分布或速度分布分别转换为变量，以使其成为相对于最可能速度的速度分量分布或速度分布的形式. （1）相对于vp的麦克斯韦速度分量分布因为最可能的比率vp2 = 2kT / m，因此上式中的vx / vp = ux，如果分子速度x方向分量为小于一定值对于分子数的比率，可以将误差函数erf（x）引入上述公式的积分中. 错误函数erf（x）具有要检查的表. [实施例2.2]尝试发现标准状态下氮分子速度的x分量小于800m. ·s-1中的分子数占分子总数的百分比. [解决方案]首先找到在273 K下最有可能出现的氮分子（摩尔质量Mm = 0.028 kg）. 根据表2.1，erf（2）= 0.995，因此该分子的百分比为49.8％.

（2）相对于vP的麦克斯韦速率分布如果订购，麦克斯韦速率分布可以使用公式（2.35）表示为接近一定速率的小范围内的气体分子数量的百分比. 误差函数可用于获得0到v范围内的分子数. §2.4.4根据麦克斯韦速度分布推导速率分布. 1.极点中的拍摄点分布. 极点中的拍摄点分布. 如果将Δr用作间隔，请在目标板上绘制多个同心圆，并计算每个环中的黑点△N的数量. 如右图所示，以△N / N△r为纵坐标，以r为横坐标绘制竖线. 让△r？ 0，得到一条平滑的曲线，该曲线表示距牛眼不同距离处出属中的自由电子速度分布和速度分布费米球金属自由电子模型表明，金属中的价电子是自由电子，没有相互作用.

在T = 0 K时，自由电子的速度分布可以表示为速度空间中的费米球. 球的中心位于速度空间的起点，球的半径为vF（称为费米速度，这是与金属类型有关的常数）. 电子态在速度空间中位于费米球体内，所有这些分子的代表点都落在这个非常薄的无限平板中. 平板和圆柱的相交处截取了一个体积为dvxdvydvz的小立方体. 计算小立方体dN（vx，vy，vz）中的代表点数，因为f（vx，vy，vz）dvxdvydvz = f（vx）dvx·f（vy）dvy·f（vz）dvz麦克斯韦速度分量分布可以表示为其中i分别代表x，y和z. 使用定积分公式可以知道上式中的两个积分均为1，因此它与垂直轴对称. 最后的解释是图中窄条区域. 由于麦克斯韦在推导麦克斯韦速度分布定律的过程中没有考虑气体分子，因此该速度分布定律通常适用于处于平衡状态的理想气体. 将以上公式代入*

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